Gleichungssystem < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für die Ellipsenbahn des Mssenpunktes wird die Gleichung
[mm] \gamma_1x^2+2\gamma_2xy+\gamma_3y^2 [/mm] =1
angesetz vobei [mm] (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) \in \IR^3
[/mm]
einen unbekannten Parametervektor darstellt
[mm] \theta (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) [/mm] :=
[mm] \summe_{i=1}^{n} (\gamma_1x^2+2\gamma_2xy+\gamma_3y^2 -1)^2
[/mm]
Um den Parametorvektor [mm] (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) [/mm] anhand der POsitionsdaten [mm] (x_i,y_i) [/mm] (gegeben) i:= 1...n zu schätzen , wird die
Kleinste-Quadrate-Methode verwendet!
|
Jetzt weiß ich Grundsätzlich was ich machen soll
ich weiß aber nicht wie mein Gleichungssystem aussieht das ich mit Hilfe der Kleinste Quadrate Methode minimieren soll!!
Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
Danke
|
|
| |
|
> Für die Ellipsenbahn des Massenpunktes wird die Gleichung
> [mm]\gamma_1x^2+2\gamma_2xy+\gamma_3y^2[/mm] =1
> angesetzt wobei [mm](\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) \in \IR^3[/mm]
>
> einen unbekannten Parametervektor darstellt
>
> [mm]\theta (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)[/mm] :=
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (\gamma_1x^2+2\gamma_2xy+\gamma_3y^2 -1)^2[/mm]
>
> Um den Parametervektor [mm](\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)[/mm] anhand
> der Positionsdaten [mm](x_i,y_i)[/mm] (gegeben) i:= 1...n zu
> schätzen , wird die
> Kleinste-Quadrate-Methode verwendet!
>
> Jetzt weiß ich Grundsätzlich was ich machen soll
> ich weiß aber nicht wie mein Gleichungssystem aussieht das
> ich mit Hilfe der Kleinste Quadrate Methode minimieren
> soll!!
Hallo Franziska,
Ich erlaube mir, statt der Gammas $a,b,c$ zu schreiben.
Die zu minimierende Quadratsumme ist dann
[mm] $Q(a,b,c)=\summe_{i=1}^{n} (a*x_i^2+2\,b\,x_i\,y_i+c\,y_i^2 -1)^2$
[/mm]
Um sie zu minimieren, muss man ihre drei partiellen
Ableitungen gleich Null setzen und das entstehende
Gleichungssystem nach a,b und c auflösen.
Zum Beispiel ist
[mm] $\bruch{\partial{Q}}{\partial{a}}=\summe_{i=1}^{n} 2*(a*x_i^2+2\,b\,x_i\,y_i+c\,y_i^2 -1)*x_i^2 [/mm] $
$\ [mm] =2*\summe_{i=1}^{n} (a*x_i^4+2\,b\,x_i^3\,y_i+c\,x_i^2\,y_i^2 -x_i^2)$
[/mm]
$\ [mm] =2*\left( a*\summe_{i=1}^{n}x_i^4+2\,b\,*\summe_{i=1}^{n}x_i^3\,y_i+c\,*\summe_{i=1}^{n}x_i^2\,y_i^2 -\summe_{i=1}^{n}x_i^2\right)$
[/mm]
mit Abkürzungen für die vorkommenden Summen,
welche aus dem Datenmaterial berechnet werden:
$\ [mm] =2*\left( a*Sxxxx+2\,\,b\,*Sxxxy+c\,*Sxxyy -\,Sxx\right)$
[/mm]
Weil dies gleich Null gesetzt wird, kann man auf den
Faktor 2 verzichten und hat als erste Gleichung:
$\ [mm] a*Sxxxx+2\,\,b\,*Sxxxy+c\,*Sxxyy\ [/mm] =\ [mm] Sxx\right$
[/mm]
Aus den anderen beiden partiellen Ableitungen ergeben
sich zwei weitere analoge Gleichungen. Damit hat man
ein lineares Gleichungssystem für die drei Unbe-
kannten a,b,c .
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 12.01.2009 | | Autor: | franceblue |
Danke
für deine Schnelle Hilfe!
Franziska
|
|
|
| |
|
> Für die Ellipsenbahn des Massenpunktes wird die Gleichung
> [mm]\gamma_1x^2+2\gamma_2xy+\gamma_3y^2[/mm] =1
> angesetzt wobei [mm](\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) \in \IR^3[/mm]
>
> einen unbekannten Parametervektor darstellt
>
> [mm]\theta (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)[/mm] :=
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (\gamma_1x^2+2\gamma_2xy+\gamma_3y^2 -1)^2[/mm]
>
> Um den Parametervektor [mm](\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)[/mm] anhand
> der Positionsdaten [mm](x_i,y_i)[/mm] (gegeben) i:= 1...n zu
> schätzen , wird die
> Kleinste-Quadrate-Methode verwendet!
Hallo Franziska,
ich habe jetzt die Methode an einem Beispiel
ausprobiert. Ich skizzierte von Hand eine
Ellipse und markierte 10 Punkte mit ganz-
zahligen Koordinaten, die ungefähr auf der
Ellipse lagen. Via Tabellenkalkulation berech-
nete ich die nötigen Summen und löste dann
das Gleichungssystem.
Dann stellte ich fest, das dies so nicht geht.
Es kam eine Ellipse heraus, die nur teilweise
passte. Der Grund ist folgender:
Mit dem Ansatz
$\ [mm] a\,x^2+2\,b\,x\,y+c\,y^2=1$
[/mm]
kann man nur Ellipsen darstellen, deren
Mittelpunkt im Ursprung O(0/0) liegt.
Nun meine Rückfrage: War dies tatsächlich
so geplant ?
Für beliebige Ellipsen (bzw. Kegelschnitte)
in der Ebene bräuchte man einen etwas
reichhaltigeren Ansatz, nämlich:
$\ [mm] a\,x^2+2\,b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y=1$
[/mm]
mit 5 Unbekannten. Die Methode zur Auflö-
sung für diesen allgemeineren Fall ist jedoch
ganz analog zum besprochenen Fall.
LG
|
|
|
|
