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| Aufgabe | | Geben sie ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in drei Unbekannten an, bei dem je zwei lösbar sind, alle 3 zusammen aber nicht. |
wie komme ich auf folgendes Gleichungssystem?
1x+1y+0z=1
1x+0y+1z=1
2x+1y+1z=3
Lg Lisalou
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Hi, Lisalou,
im Prinzip geht's hier um ein "Schnittproblem dreier Ebenen in Koordinatenform".
Speziell liegt hier die Situation vor, dass jeweils 2 der 3 Ebenen sich in einer Geraden schneiden, alle drei zusammen aber keinen gemeinsamen Punkt haben.
Die Situation wird z.B. in diesem Link relativ übersichlich dargestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathe-online.at/mathint/geom2/i.html
(Du musst Dir im Punkt "Lagebeziehung dreier Ebenen" die Skizze zu d) anschauen!)
Es ist zu erkennen, dass es drei Schnittgeraden (jeweils eine zu 2 Ebenen) gibt, die ZUEINANDER PARALLEL liegen, also gleiche Richtung haben.
Demnach ist mal das erste, dass man sich eine Richtung aussucht
(in Deinem Beispiel ist das [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1}.)
[/mm]
Und dann nimmst Du drei Vektoren, die darauf senkrecht stehen: Die Normalenvektoren von 3 Ebenen.
In Deinem Beispiel hat der Mensch, der den Lösungsvorschlag der Aufgabe erstellt hat, folgende gewählt:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Nun hast Du die linke Seite Deines Gleichungssystems eigentlich schon fertig. Und rechts kannst Du die Zahlen "fast beliebig" wählen. In den meisten Fällen wird's nicht passieren, dass die 3 Ebenen zusammen eine einzige gemeinsame Schnittgerade haben. Wenn dummerweise doch, musst Du halt eine der Zahlen ändern - und schon wird's wohl hinhauen!
mfG!
Zwerglein
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| Aufgabe | | habe jetzt mal ein eigenes Gl-System entwickelt und wollte mal wissen ob das auch stimmt... |
Danke für deine Hilfe Zwerglein,
Ich habe das jetzt auch mal durchgerechnet und wollte wissen ob dass auch für den Geraden-Richtungsvektor (0/0/5) geht.
Zu diesem Richtungsvektor habe ich drei Normalenvektoren gesucht.
Rechnung : (0/0/5)*x=0
vektora=(1/-1/0), vektorb=(4/1/0), vektorc=(2/1/0)
(stimmt das so?)
und dann ein Gleichungssystem gebildet:
1x-1y+0z=1
4x+1y+0z=2
2x+1y+0z=4
geht das so???
Lg Anna
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Hi, Lisalou,
> habe jetzt mal ein eigenes Gl-System entwickelt und wollte
> mal wissen ob das auch stimmt...
> Ich habe das jetzt auch mal durchgerechnet und wollte
> wissen ob dass auch für den Geraden-Richtungsvektor (0/0/5)
> geht.
Es geht mit jedem Richtungsvektor; aber warum nimmst Du nicht (0/0/1) - ist doch dieselbe Richtung, aber "einfacher" - naja!
> Zu diesem Richtungsvektor habe ich drei Normalenvektoren
> gesucht.
>
> Rechnung : (0/0/5)*x=0
> vektora=(1/-1/0), vektorb=(4/1/0), vektorc=(2/1/0)
> (stimmt das so?)
Passt scho'!
(Nebenbei: Du hast hier den Sonderfall gewählt, dass sowohl die 3 Ebenen als auch die 3 Schnittgeraden parallel zur z-Achse das KoSy liegen: Warum nicht?!)
> und dann ein Gleichungssystem gebildet:
>
> 1x-1y+0z=1
> 4x+1y+0z=2
> 2x+1y+0z=4
>
> geht das so???
Hab's nachgerechnet: 3 verschiedene Schnittgeraden! Ist OK!
(Übrigens gefällt mir dieses Bsp. noch besser als das erste!)
mfG!
Zwerglein
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