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| Aufgabe | Finen Sie alle Lösungen x [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung:
[mm] \bruch{1}{e^{i*x}} [/mm] = [mm] \bruch{x + ix + (i - 1)\wurzel{3}}{1 + i}+e^{\pi i+\log(x+1)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Würde gerne meinen versuchten Lösungsweg präsentieren und bitte mich auf etwaige Fehler hinzuweisen.
1. Ich vereinfache den Term [mm] e^{\pi i+\log(x+1)}
[/mm]
zu:
[mm] e^{\pi i}*e^{\log(x+1)}
[/mm]
= [mm] e^{\pi i}*(x+1)
[/mm]
[mm] e^{\pi i} [/mm] ist lt. [mm] cos(\pi) [/mm] + i [mm] sin(\pi) [/mm] = -1
In die Angabe eingesetzt ergibt das:
[mm] \bruch{1}{e^{i*x}} [/mm] = [mm] \bruch{x + ix + (i - 1)\wurzel{3}}{1 + i} [/mm] - x + 1
2. Wenn ich auf der rechten Seite im Zähler bei (x + ix) x heraushebe komme ich zu dem Term x (1+i), weswegen ich durch den Term 1+i dividiere um das x frei zu bekommen:
[mm] \bruch{1}{e^{i*x}} [/mm] = x + [mm] \bruch{(i - 1)\wurzel{3}}{1 + i} [/mm] - x + 1
x - x = 0, =>
[mm] \bruch{1}{e^{i*x}} [/mm] = [mm] \bruch{(i - 1)\wurzel{3}}{1 + i} [/mm] + 1
Wie sieht es bis hier hin aus? Bin ich am richtigen Weg?
Leider weiß ich von hier an nicht mehr weiter, wäre für jeden Denkanstoß dankbar.
Besten Dank im Voraus,
Christian
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> Finen Sie alle Lösungen x [mm]\in \IC[/mm] der Gleichung:
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> [mm]\bruch{1}{e^{i*x}}[/mm] = [mm]\bruch{x + ix + (i - 1)\wurzel{3}}{1 + i}+e^{\pi i+\log(x+1)}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Würde gerne meinen versuchten Lösungsweg präsentieren und
> bitte mich auf etwaige Fehler hinzuweisen.
>
> 1. Ich vereinfache den Term [mm]e^{\pi i+\log(x+1)}[/mm]
> zu:
> [mm]e^{\pi i}*e^{\log(x+1)}[/mm]
> = [mm]e^{\pi i}*(x+1)[/mm]
> [mm]e^{\pi i}[/mm] ist
> lt. [mm]cos(\pi)[/mm] + i [mm]sin(\pi)[/mm] = -1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> In die Angabe eingesetzt ergibt das:
>
> [mm]\bruch{1}{e^{i*x}}[/mm] = [mm]\bruch{x + ix + (i - 1)\wurzel{3}}{1 + i}[/mm]
> - x [mm] \red{-} [/mm] 1 [-(x+1)=-x-1]
>
> 2. Wenn ich auf der rechten Seite im Zähler bei (x + ix) x
> heraushebe komme ich zu dem Term x (1+i), weswegen ich
> durch den Term 1+i dividiere um das x frei zu bekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{e^{i*x}}[/mm] = x + [mm]\bruch{(i - 1)\wurzel{3}}{1 + i}[/mm] -
> x [mm] \red{-} [/mm] 1
>
> x - x = 0, =>
>
> [mm]\bruch{1}{e^{i*x}}[/mm] = [mm]\bruch{(i - 1)\wurzel{3}}{1 + i}[/mm] [mm] \red{-} [/mm] 1
>
> Wie sieht es bis hier hin aus? Bin ich am richtigen Weg?
>
> Leider weiß ich von hier an nicht mehr weiter, wäre für
> jeden Denkanstoß dankbar.
>
> Besten Dank im Voraus,
>
> Christian
Hi Christian,
bis auf den VZ Fehler sieht das alles richtig aus bis hierher
LG
schachuzipus
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Danke erstmals für die prompte Antwort und dass du es dir angesehen hast.
Ich habe jetzt probiert das Gleichungssystem weiterzulösen, wäre nett wenn sich nochmal jemand Zeit nehmen könnte und es durchsieht.
[mm] \bruch{1}{e^{ix}} [/mm] = [mm] \bruch{(i-1)\wurzel{3}}{1+i}-1
[/mm]
Durch Multiplizieren mit (1+i) bringe ich das -1 in den Zähler des Bruchs, ergibt:
[mm] \bruch{1}{e^{ix}} [/mm] = [mm] \bruch{(i-1)\wurzel{3}-i-1}{1+i}
[/mm]
Nun multipliziere ich den Term [mm] (i-1)\wurzel{3} [/mm] aus und setze ihn in die Gleichung ein:
[mm] \bruch{1}{e^{ix}} [/mm] = [mm] \bruch{i\wurzel{3}-\wurzel{3}-i-1}{1+i}
[/mm]
Was im Grunde schon eine Darstellung der Form z = a + bi ist.
um aus dem [mm] \bruch{1}{e^{ix}} [/mm] ein [mm] {e^{ix}} [/mm] drehe ich den Bruch auf beiden Seiten um und komme zu folgendem Ergebnis:
[mm] {e^{ix}} [/mm] = [mm] \bruch{1+i}{-2.73 - 0.732i}
[/mm]
Wenn ich die rechte Seite nun nach den Regeln des Dividierens Komplexer Zahlen [mm] (\bruch{(x_{1},y_{1})}{(x_{2},y_{2})} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\bruch{-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{x_{2}^2+y_{2}^2})
[/mm]
Zu dem Ergebnis:
[mm] e^{ix} [/mm] = -0.4334 - 0.250i
Ist meine grundsätzliche Überlegung richtig?
Wie schließe ich aus der letzten Gleichung auf die Lösungsmenge x?
Besten Dank im Voraus,
Christian
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> Danke erstmals für die prompte Antwort und dass du es dir
> angesehen hast.
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> Ich habe jetzt probiert das Gleichungssystem weiterzulösen,
> wäre nett wenn sich nochmal jemand Zeit nehmen könnte und
> es durchsieht.
>
> [mm]\bruch{1}{e^{ix}}[/mm] = [mm]\bruch{(i-1)\wurzel{3}}{1+i}-1[/mm]
>
> Durch Multiplizieren mit (1+i) bringe ich das -1 in den
> Zähler des Bruchs, ergibt:
>
> [mm]\bruch{1}{e^{ix}}[/mm] = [mm]\bruch{(i-1)\wurzel{3}-i-1}{1+i}[/mm]
>
> Nun multipliziere ich den Term [mm](i-1)\wurzel{3}[/mm] aus und
> setze ihn in die Gleichung ein:
>
> [mm]\bruch{1}{e^{ix}}[/mm] =
> [mm]\bruch{i\wurzel{3}-\wurzel{3}-i-1}{1+i}[/mm]
>
> Was im Grunde schon eine Darstellung der Form z = a + bi
> ist.
>
> um aus dem [mm]\bruch{1}{e^{ix}}[/mm] ein [mm]{e^{ix}}[/mm] drehe ich den
> Bruch auf beiden Seiten um und komme zu folgendem
> Ergebnis:
>
> [mm]{e^{ix}}[/mm] = [mm]\bruch{1+i}{-2.73 - 0.732i}[/mm]
>
> Wenn ich die rechte Seite nun nach den Regeln des
> Dividierens Komplexer Zahlen
> [mm](\bruch{(x_{1},y_{1})}{(x_{2},y_{2})}[/mm] =
> [mm]\bruch{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\bruch{-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{x_{2}^2+y_{2}^2})[/mm]
>
> Zu dem Ergebnis:
>
> [mm]e^{ix}[/mm] = -0.4334 - 0.250i
Da ist ein Dreher drin - ich habs genau umgekehrt: [mm] e^{ix}=-0.4334i [/mm] - 0.250
Wenn du mit der Wurzel rechnest, erhältst du - etwas schöner:
[mm] e^{ix}=-\bruch{1}{4}-\bruch{\wurzel{3}}{4}i
[/mm]
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> Ist meine grundsätzliche Überlegung richtig?
>
> Wie schließe ich aus der letzten Gleichung auf die
> Lösungsmenge x?
>
> Besten Dank im Voraus,
>
> Christian
Hallo Christian,
Ich denke, du hast alles richtig gerechnet. - nur irgendwo nen Dreher drin (oder ich  )
Ich hatte keine rechte Lust, deine Berechnung zur "Division" ganz genau durchzusehen - war auch irgendwie komisch erklärt. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Einfacher ist es, den Bruch mit dem (komplexen) Nenner mit dem konjugiert Komplexen des Nenners zu erweitern, denn dann wird selbiger reell!
(z=a+bi [mm] \Rightarrow \overline{z}=a-bi \Rightarrow z\cdot{}\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 [/mm] - das meintest du glaube ich auch)
Wenn ich Zähler und Nenner so erweitere, komme ich auf meine Lsg
Um die Lösungen für x rauszubekommen, wende den ln auf beiden Seiten der letzten Gleichung an und multipliziere anschließend mit -i.
Aber Achtung, der komplexe Logarithmus ist nicht eindeutig, siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Komplexer_Logarithmus
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Do 22.03.2007 | | Autor: | DrOctagon |
Sodale, hab es jetzt dank der großartigen Hilfe geschafft, der Dreher lag glaube ich eh wie vermutet meinerseits.
Vielen Dank nochmals für die prompte Unterstützung!
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