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| Aufgabe | Lösen Sie in reellen Zahlen die folgenden Gleichungen:
a) [mm] |x^2 [/mm] - x| = 24
b) |x + 1| = |x - 1|
c) [mm] |x^2 [/mm] + 2x - 1| = |x| |
Ich hab das mal durchgerechnet, ich hoffe, dass das richtig ist:
a) [mm] |x^2 [/mm] - x| = 24
2 Fälle:
1) [mm] x^2 [/mm] - x = 24
[mm] x^2 [/mm] - x - 24 = 0
Quadratische Gleichung wird gelöst, kommt raus
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x_{1, 2} = \bruch{1 \pm \wurzel{97}}{2} \}
[/mm]
2) [mm] -(x^2 [/mm] - x) = 24
[mm] -x^2 [/mm] + x - 24 = 0
Quadratische Gleichung wird gelöst, es kommt keine Lösung hierbei raus:
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \}
[/mm]
Das heißt im Gesamten: [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x_{1, 2} = \bruch{1 \pm \wurzel{97}}{2} \}, [/mm] oder ?
b) Hier gibt es vier Fälle:
1) x + 1 = x - 1
2) x + 1 = -(x - 1)
3) -(x +1) = x - 1
4) -(x + 1) = -(x - 1)
Bei Fall 2 und 3 kommt als Lösung [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ 0 \}, [/mm] Fall 1 und 4 haben keine Lösung bzw. eine leere Menge als Lösungsmenge.
Gesamtlösungsmenge: [mm] \IL [/mm] = [mm] \{0\}, [/mm] stimmt das dann?
c) Auch hier wieder vier Fälle
1) [mm] x^2 [/mm] + 2x - 1 = x
2) [mm] x^2 [/mm] + 2x - 1 = -x
3) [mm] -(x^2 [/mm] +2x - 1) = x
4) [mm] -(x^2 [/mm] + 2x - 1) = -x
Falls meine Lösung falsch sein sollte, dann schreibe ich meinen Lösungsweg genauer hin. Es sind halt alles quadratische Gleichungen und die hab ich nach der Mitternachtsformel alle berechnet. Herauskam bei den einzelnen Fällen folgende Lösungen:
1) [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x_{1,2} = \bruch{-1 \pm \wurzel{5}}{2} \}
[/mm]
2) [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x_{1,2} = \bruch{-3 \pm \wurzel{13}}{2} \}
[/mm]
3) [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x_{1,2} = \bruch{3 \pm \wurzel{13}}{-2} \}
[/mm]
4) [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x_{1,2} = \bruch{1 \pm \wurzel{5}}{-2} \}
[/mm]
Gesamtlösung ist die Vereinigung der Lösungsmengen in den vier Fällen. Das stimmt doch, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 25.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lösen Sie in reellen Zahlen die folgenden Gleichungen:
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> a) [mm]|x^2[/mm] - x| = 24
>
> b) |x + 1| = |x - 1|
>
> c) [mm]|x^2[/mm] + 2x - 1| = |x|
> Ich hab das mal durchgerechnet, ich hoffe, dass das
> richtig ist:
>
> a) [mm]|x^2[/mm] - x| = 24
>
> 2 Fälle:
> 1) [mm]x^2[/mm] - x = 24
>
> [mm]x^2[/mm] - x - 24 = 0
>
> Quadratische Gleichung wird gelöst, kommt raus
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ x_{1, 2} = \bruch{1 \pm \wurzel{97}}{2} \}[/mm]
>
> 2) [mm]-(x^2[/mm] - x) = 24
>
> [mm]-x^2[/mm] + x - 24 = 0
>
> Quadratische Gleichung wird gelöst, es kommt keine Lösung
> hierbei raus:
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ \}[/mm]
>
> Das heißt im Gesamten: [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ x_{1, 2} = \bruch{1 \pm \wurzel{97}}{2} \},[/mm]
> oder ?
>
> b) Hier gibt es vier Fälle:
> 1) x + 1 = x - 1
> 2) x + 1 = -(x - 1)
> 3) -(x +1) = x - 1
> 4) -(x + 1) = -(x - 1)
>
> Bei Fall 2 und 3 kommt als Lösung [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ 0 \},[/mm] Fall 1
> und 4 haben keine Lösung bzw. eine leere Menge als
> Lösungsmenge.
>
> Gesamtlösungsmenge: [mm]\IL[/mm] = [mm]\{0\},[/mm] stimmt das dann?
>
> c) Auch hier wieder vier Fälle
>
> 1) [mm]x^2[/mm] + 2x - 1 = x
> 2) [mm]x^2[/mm] + 2x - 1 = -x
> 3) [mm]-(x^2[/mm] +2x - 1) = x
> 4) [mm]-(x^2[/mm] + 2x - 1) = -x
>
> Falls meine Lösung falsch sein sollte, dann schreibe ich
> meinen Lösungsweg genauer hin. Es sind halt alles
> quadratische Gleichungen und die hab ich nach der
> Mitternachtsformel alle berechnet. Herauskam bei den
> einzelnen Fällen folgende Lösungen:
>
> 1) [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{-1 \pm \wurzel{5}}{2} \}[/mm]
> 2)
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{-3 \pm \wurzel{13}}{2} \}[/mm]
> 3) [mm]\IL[/mm]
> = [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{3 \pm \wurzel{13}}{-2} \}[/mm]
> 4) [mm]\IL[/mm] =
> [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{1 \pm \wurzel{5}}{-2} \}[/mm]
>
> Gesamtlösung ist die Vereinigung der Lösungsmengen in den
> vier Fällen. Das stimmt doch, oder?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
ich stelle die Frage auf "teilweise beantwortet", da ich mir auch nur Teile angucke 
Die a) ist korrekt, soweit ich das sehe.
Bei der b) machst Du schon unnötiges, denn dort reichen zwei Fälle:
Generell:
Für
$$|a|=|b|$$
kann man natürlich wegen
$$a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \text{ oder } [/mm] a < [mm] 0,\; [/mm] b [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \text{ oder } [/mm] b < 0$$
4 Fälle zusammenbasteln, nur sind zwei davon "im wesentlichen die gleichen"; das heißt, sie liefern die gleiche Rechnung:
Denn sowohl für den Fall
[mm] $a\ge [/mm] 0$ und $b [mm] \ge [/mm] 0$
als auch für den Fall
$a< [mm] 0\,$ [/mm] und $b [mm] <\, [/mm] 0$
gilt $|a|=|b| [mm] \gdw a=b\,.$
[/mm]
Es kann sein, dass Dir das bewußt ist, aber falls nicht:
$$|a|=|b|$$
[mm] $$\gdw [/mm] a=b$$
gilt, falls [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] beide gleiches Vorzeichen haben.
Und
$$|a|=|b|$$
[mm] $$\gdw a=-b\,,$$
[/mm]
wenn [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] verschiedene Vorzeichen haben. Erst danach macht man dann nochmal die "Vorzeichenunterscheidung" und erspart sich hier "doppeltes notieren der gleichen Rechnung".
P.S.:
Zur eigenen Kontrolle, beispielhaft:
Plotte Dir doch mal bei Aufgabe 2) die Graphen von
$$x [mm] \mapsto [/mm] |x+1|$$
und
$$x [mm] \mapsto |x-1|\,.$$
[/mm]
Ähnliches auch bei den anderen Aufgaben. Ist Dir klar, wie Du damit Deine Lösungen selbst kontrollieren kannst?
P.P.S.:
Wegen $f(x)=g(x) [mm] \gdw [/mm] f(x)-g(x)=0$ kannst Du auch $x [mm] \mapsto [/mm] f(x)-g(x)$ plotten lassen, und davon dann die Nullstellen mit den von Dir errechneten Lösungen für [mm] $x\,$ [/mm] abgleichen.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 25.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> c) [mm]|x^2[/mm] + 2x - 1| = |x|
> Ich hab das mal durchgerechnet, ich hoffe, dass das
> richtig ist:
> c) Auch hier wieder vier Fälle
>
> 1) [mm]x^2[/mm] + 2x - 1 = x
> 2) [mm]x^2[/mm] + 2x - 1 = -x
> 3) [mm]-(x^2[/mm] +2x - 1) = x
> 4) [mm]-(x^2[/mm] + 2x - 1) = -x
>
> Falls meine Lösung falsch sein sollte, dann schreibe ich
> meinen Lösungsweg genauer hin. Es sind halt alles
> quadratische Gleichungen und die hab ich nach der
> Mitternachtsformel alle berechnet. Herauskam bei den
> einzelnen Fällen folgende Lösungen:
>
> 1) [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{-1 \pm \wurzel{5}}{2} \}[/mm]
> 2)
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{-3 \pm \wurzel{13}}{2} \}[/mm]
> 3) [mm]\IL[/mm]
> = [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{3 \pm \wurzel{13}}{-2} \}[/mm]
> 4) [mm]\IL[/mm] =
> [mm]\{ x_{1,2} = \bruch{1 \pm \wurzel{5}}{-2} \}[/mm]
>
> Gesamtlösung ist die Vereinigung der Lösungsmengen in den
> vier Fällen. Das stimmt doch, oder?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
im Falle 2) hast Du rechterhand $|x|=-x$ benutzt, also $x [mm] <0\,.$ [/mm] Damit ist aber in diesem Fall
[mm] $$\IL=\left\{ x_{1,2} = \bruch{-3 \pm \wurzel{13}}{2} \right\}$$ [/mm]
nicht richtig, da [mm] $\underbrace{(-3+\sqrt{13})/2}_{\ge 0} \not\!\,< 0\,.$
[/mm]
Die "Teillösungsmengen bzgl. des jeweiligen Falls" sehen dort also eigentlich anders aus, an der Gesamtlösung(smenge) wird's hier (denke ich) wohl nichts ändern.
Beste Grüße,
Marcel
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Jetzt ne Frage zur c)
Das hieße ja, dass das ja nicht nur im Falle von 2 so ist, sondern in jedem Falle, denn in jedem Fall ist eine Lösung positiv und eine Lösung negativ und dann muss ich halt schauen, wo ich meine +x und meine -x auf der rechten Seite gesetzt habe und jenachdem gilt dann eben die positive Lösung oder die negative. Oder lieg ich da falsch?
Also mal das Beispiel des ersten Falles (gerundet auf zwei Stellen hinter dem Komma)
[mm] x_{1} [/mm] = 0,62
[mm] x_{2} [/mm] = -1,62
Im Fall eins gilt dann nur [mm] x_{1}, [/mm] denn [mm] x_{2} [/mm] ist nicht im Lösungsbereich enthalten. Dasselbe dann für die anderen Fälle.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mo 26.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jetzt ne Frage zur c)
>
> Das hieße ja, dass das ja nicht nur im Falle von 2 so ist,
> sondern in jedem Falle, denn in jedem Fall ist eine Lösung
> positiv und eine Lösung negativ und dann muss ich halt
> schauen, wo ich meine +x und meine -x auf der rechten Seite
> gesetzt habe und jenachdem gilt dann eben die positive
> Lösung oder die negative. Oder lieg ich da falsch?
> Also mal das Beispiel des ersten Falles (gerundet auf zwei
> Stellen hinter dem Komma)
> [mm]x_{1}[/mm] = 0,62
> [mm]x_{2}[/mm] = -1,62
>
> Im Fall eins gilt dann nur [mm]x_{1},[/mm] denn [mm]x_{2}[/mm] ist nicht im
> Lösungsbereich enthalten. Dasselbe dann für die anderen
> Fälle.
ja, deswegen habe ich ja geschrieben, dass die "Teillösungsmengen" falsch sind.
Du musst halt schauen, welche Fälle Du für [mm] $x\,$ [/mm] zu unterscheiden hast, und dies natürlich auch bei der Teil-Lösungsmenge beachten.
Bei c) 1 hast Du z.B.
1. Fall:
Wir setzen voraus:
[mm] $x^2+2x-1 \ge [/mm] 0$ und $x [mm] \ge 0\,,$
[/mm]
d.h. [mm] $(x+1)^2 \ge [/mm] 2$ und $x [mm] \ge [/mm] 0$
bzw. $x [mm] \ge \sqrt{2}-1$:
[/mm]
Dann gilt (ich "schleppe mal alles mit")
[mm] $$|x^2+2x-1|=|x| \text{ und }x \ge \sqrt{2}-1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2+x-1=0 \text{ und }x \ge \sqrt{2}-1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x=\frac{-1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1} \text{ und }x \ge \sqrt{2}-1) \text{ oder }(x=\frac{-1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+1} \text{ und }x \ge \sqrt{2}-1)\,.$$
[/mm]
Da nur [mm] $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ge \sqrt{2}-1\,$ [/mm] ist, ist hier
[mm] $$\IL=\{(-1+\sqrt{5})/2\}\,.$$
[/mm]
P.S.:
Hier das zugehörige "Graphenbild":
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Interpretation des Falls $x [mm] \ge \sqrt{2}-1$: [/mm]
Rechts von [mm] $\blue{x=\sqrt{2}-1}$ [/mm] liegen die Graphen von $x [mm] \mapsto x^2+2x-1$ [/mm] und $x [mm] \mapsto [/mm] x$ beide stets oberhalb der [mm] $x\,$-Achse [/mm] und es gibt auf diesem Bereich der x-Achse (d.h. [mm] $\{x \in \IR: x \ge \blue{\sqrt{2}-1}\}$) [/mm] genau einen Schnittpunkt in [mm] $\green{x=(-1+\sqrt{5})/2}$.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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