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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Watschel |
| Aufgabe | Zwei Straßen sind in der Draufsicht durch die Gerade [mm] h_{1} [/mm] (x) = 1 für x [mm] \le [/mm] 1
und [mm] h_{2} [/mm] (x) = 3 für x [mm] \ge [/mm] 5 gegeben. Diese Enden sollen durch einen Übergangsbogen miteinander verbunden werden. Dieser Bogen soll der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit möglichst kleinem Grad sein. An den Anschlussstellen ( in den Punkten [mm] P_{1} [/mm] ( 1 / 1 ) und [mm] P_{2} [/mm] ( 5 / 3 ) )
soll der Graph von f die Steigung 0 haben.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Übergangsbogen, die die oben gestellten Anforderungen erfüllt ! |
Hallo,
folgende Gedanken habe ich mir bisher gemacht:
es soll gelten f(x) = ax³ + bx² + cx + d
So habe ich für die Anschlussstellen raus:
1. f(1) = a + b + c + d =1
2. f(5) = 125a + 25b + 5c + d = 3
Nun verwirrt mich in der Aufgabenstellung aber das
[mm] h_{1} [/mm] (x) = 1 für x [mm] \le [/mm] 1 und [mm] h_{2} [/mm] (x) = 3 für x [mm] \ge [/mm] 5
Was sollen die x [mm] \le [/mm] 1 sagen - muss man hier mit der 1. Ableitung arbeiten ?
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Hi,
also bei solchen Problemen musst Du unbedingt erst eine Skizze machen, und dir dann überlegen, was die wirklich wichtigen Informationen im Text sind. Ob das Nun Straßen, Brücken oder was weiß ich sind ist ja völlig egal.
Im Wesentlichen sollst Du die beiden Anschlusspunkte miteinander verbinden, indem Du ein Polynom f konstruierst, auf dem diese beiden Punkte liegen. An dieses Polynom sind verschiedene Anforderungen gestellt.
1. kleinstmöglicher Grad (warum ist das wichtig?)
2. in den Anschlussstellen soll die Ableitung gleich 0 sein (warum ist diese Bedingung sinnvoll?)
Bevor Du jetzt ein Polynom dritten Grades aufstellst, musst du "Bedingungen zählen", d.h. Du schaust Dir an, wieviele Gleichungen erfüllt sein müssen. Für n Gleichungen brauchst Du ein Polynom von mindestes Grad n-1.
(Weil Du in diesem Fall tatsächlich 4 Gleichungen hast ist es tatsächlich vom Grad 3).
Welches sind also diese Gleichungen?
[mm] $x\leq [/mm] 1$ hat nichts mit der Ableitung zu tun, das ist einfach Teil der Definition der Funktion die die Straße beschreibt.
solange x kleiner ist als 1 nimmt die Funktion den Wert 1 an, für x größer 5 den Wert 3 (was ist dazwischen?).
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