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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:42 Sa 26.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeige, daß folgende Aussage gilt:
[mm] $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-a)^2-n(\overline{X}-a)^2, a\in\mathbb [/mm] R$ |
Hallo, liebe Helferinnen & Helfer!
Ich habe folgenden Beweis ausgeführt, von dem ich sehr gerne wüßte, ob er so in Ordnung ist. Ich habe das einfach sehr strikt versucht auszurechnen.
Beweis:
Sei [mm] $a\in\mathbb [/mm] R$ beliebig.
LHS
[mm] LHS=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2X_i\overline{X}+\overline{X}^2$
[/mm]
[mm] $=X_1^2-2X_1\overline{X}+\overline{X}^2+...+X_n^2-2X_n\overline{X}+\overline{X}^2$ [/mm]
[mm] $=X_1^2-2X_1\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i+\frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2+...+X_n^2-2X_n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i+\frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2$
[/mm]
[mm] $=X_1^2+...+X_n^2-2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i(X_1+...+X_n)+\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2\overline{X}\sum_{i=1}^{n}X_i+\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2$
[/mm]
RHS
[mm] RHS=\overbrace{\sum_{i=1}^{n}(X_i^2-2X_ia+a^2)}^{=:A}-[\overbrace{n(\overline{X}^2-2\overline{X}a+a^2)}^{=:B}]$
[/mm]
A
[mm] $A=(X_1^2-2X_1a+a^2)+...+(X_n^2-2X_na+a^2)$
[/mm]
[mm] $=X_1^2+...+X_n^2-2a(X_1+...+X_n)+na^2$
[/mm]
[mm] $=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2a\sum_{i=1}^{n}X_i+na^2$
[/mm]
B
[mm] $B=n\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2-n2\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)a+na^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2-2a\sum_{i=1}^{n}X_i+na^2$
[/mm]
A-B
[mm] $\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2a\sum_{i=1}^{n}X_i+na^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2+2a\sum_{i=1}^{n}X_i-na^2$
[/mm]
[mm] $=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2$
[/mm]
LHS=RHS
[mm] $\overbrace{\sum_{i=1}^{n}X_i^2}^{\geq 0}-2\overline{X}\sum_{i=1}^{n}X_i+\overbrace{\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2}^{\geq 0}=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow -2\overline{X}\sum_{i=1}^{n}X_i+\frac{2}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow -2\overline{X}\sum_{i=1}^{n}X_i=-\frac{2}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2$
[/mm]
Dies ist der Fall, denn:
[mm] $-2\overline{X}\sum_{i=1}^{n}X_i=-2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\sum_{i=1}^{n}X_i=-\frac{2}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)^2$
[/mm]
[mm] $\Box$
[/mm]
So, das ist mein Beweis.
Wäre nett, wenn mir jemand ein Feedback geben würde!
Ein schönes Wochenende (mit einem besinnlichen 1. Advent) und liebe Grüße!
Dennis
PS. Diese Frage habe ich nur hier gestellt und in keinem anderen Forum.
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Hallo dennis2,
ein sehr ordentlich aufgeschriebener Beweis und so wie ich es sehe, fehlerfrei ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
Nur ein kleiner Hinweis:
Summen wie [mm] $\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2X_i\overline{X}+\overline{X}^2$ [/mm] kannst Du direkt auseinanderziehen, dann reduziert sich die Schreibarbeit.
Gute Nacht! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Sa 26.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Dankesehr für Dein Feedback und ich freue mich, daß ich mit meinem Beweis richtig liege.
(Danke auch für Deinen Hinweis, was die Reduzierung der Schreibarbeit betrifft. Solche Hinweis sind natürlich immer gern gesehen. )
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