Gleichung mit mehreren Variablen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 So 07.03.2004 | | Autor: | Josef |
Bei folgender Gleichung verliere ich den Überblick:
A: [mm] \bruch{ax}{2}[/mm] + [mm] \bruch{y}{2a+2b}[/mm] = a-b
B: [mm]\bruch{ay}{a-b}[/mm] - abx = a²+b²
Lösung: x = [mm]\bruch{a-b}{a}[/mm]
y = a²-b²
Mein Ansatz:
Nenner beseitigen:
Hauptnenner bei A: 2(a+b)
Hauptnenner bei B: (a-b)
A: (ax)*2(a+b) + y = (a-b)*2(a+b)
B: ay-(abx)(a-b) = (a²+b²)(a-b)
wie geht es jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 So 07.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Josef,
> A: [mm]\bruch{ax}{2}[/mm] + [mm]\bruch{y}{2a+2b}[/mm] = a-b
> B: [mm]\bruch{ay}{a-b}[/mm] - abx = a²+b²
>
> Lösung: x = [mm]\bruch{a-b}{a}[/mm]
> y = a²-b²
>
> Mein Ansatz:
> Nenner beseitigen:
> Hauptnenner bei A: 2(a+b)
> Hauptnenner bei B: (a-b)
>
>
> A: (ax)*2(a+b) + y = (a-b)*2(a+b)
Hier kürzt sich beim ersten Bruch die 2 weg, es müßte also richtig heißen:
A: (ax)*(a+b) + y = (a-b)*2(a+b)
> B: ay-(abx)(a-b) = (a²+b²)(a-b)
>
> wie geht es jetzt weiter?
Eine Gleichung nach x (oder y) auflösen und den erhaltenen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen.
Zum Beispiel löse ich B nach y auf:
$ay-(abx)(a-b) = (a²+b²)(a-b)$
[mm] $\gdw [/mm] ay = (a²+b²)(a-b)+(abx)(a-b)$
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] \bruch{(a²+b²)(a-b)+(abx)(a-b)}{a}$
[/mm]
Das setze ich nun in A ein und wünsche mir viel Spaß:
$(ax)*(a+b) + y = (a-b)*2(a+b)$
[mm] $\gdw [/mm] (ax)*(a+b) + [mm] \bruch{(a²+b²)(a-b)+(abx)(a-b)}{a} [/mm] = (a-b)*2(a+b)$
[mm] $\gdw [/mm] (a^2x)*(a+b) + (a²+b²)(a-b)+(abx)(a-b) = a*(a-b)*2(a+b)$
[mm] $\gdw [/mm] (a^2x)*(a+b) + (abx)(a-b) = a*(a-b)*2(a+b)-(a²+b²)(a-b)$
[mm] $\gdw x*\left( (a^2)*(a+b) + (ab)(a-b) \right)= [/mm] a*(a-b)*2(a+b)-(a²+b²)(a-b)$
Bevor ich nun durch [mm] $(a^2)*(a+b) [/mm] + (ab)(a-b)$ dividiere, faktorisiere ich erst:
[mm] $\gdw x*\lbrack [/mm] a*(a*(a+b) + b(a-b)) [mm] \rbrack= [/mm] (a-b)*(a*2(a+b)-(a²+b²))$
[mm] $\gdw x*\lbrack a*(a^2+ab [/mm] + [mm] ba-b^2) \rbrack= (a-b)*(2a^2+2ab-a²-b²)$
[/mm]
[mm] $\gdw x*\lbrack a*(-(a-b)^2) \rbrack= (a-b)*(-(a-b)^2)$ [/mm] | dividieren durch [mm] $-(a-b)^2$, [/mm] was nicht Null sein kann (siehe Ausgangsgleichungen)
[mm] $\gdw [/mm] x*a= (a-b)$
[mm] $\gdw [/mm] x= [mm] \bruch{a-b}{a}$
[/mm]
y folgt nun durch Einsetzen dieses x in eine Gleichung, z.B. in $y = [mm] \bruch{(a²+b²)(a-b)+(abx)(a-b)}{a}$ [/mm] (s.o.):
$y = [mm] \bruch{(a²+b²)(a-b)+(ab*\bruch{a-b}{a})(a-b)}{a}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] \bruch{(a²+b²)(a-b)+(b*(a-b))(a-b)}{a}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] \bruch{(a²+b²)(a-b)+b*(a-b)^2}{a}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] \bruch{(a^3-a^2*b+ab^2-b^3+b*(a^2-2ab+b^2)}{a}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] \bruch{(a^3-a^2*b+ab^2-b^3+a^2b-2ab^2+b^3)}{a}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] \bruch{a*(a^2-a*b+b^2+ab-2b^2)}{a}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] a^2-a*b+b^2+ab-2b^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] a^2-b^2$
[/mm]
Puh, Glück gehabt, kein einziges Mal verrechnet.
Wahrscheinlich kann man an manchen Stellen geschickter rechnen.
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Mo 08.03.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo Marc,
vielen Dank für deine Hilfe. Da hast du dir echt Mühe gemacht.
Ich denke, bei dieser Aufgabe muss man ein gutes, geschultes Auge, viel Übung und Erfahrung in mathematischen Zusammenhängen haben, um sie lösen zu können.
Du hast mir den Rechengang ausgezeichnet erklärt. Er ist gut nachvollziehbar für mich.
Danke!
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