Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man bestimme alle z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] z^9+z^6=0. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bin folgendermaßen rangegangen:
[mm] z^9+z^6=0 \gdw z^6(z^3+1)=0 \gdw z^6=0 [/mm] oder [mm] z^3=-1
[/mm]
Sei z=x+iy: Ich würde gern die Polarkoordinatendarstellung nehmen, aber das geht iwie nicht. [mm] z=\wurzel{x^2+y^2}(\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}+i\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}})...?
[/mm]
Ein Real-und Imaginärteil-vergleich geht nicht, oder? Also [mm] z^6=0 \gdw [/mm] x=0 und y=0. Und beim 2. y=0 und [mm] x=\wurzel[3]{-1}=-1.
[/mm]
Muss ich wirklich [mm] (x+iy)^9 [/mm] ausmultiplizieren? Also [mm] (x+iy)*(x^2-y^2+2ixy)^4... [/mm] und so weiter.
Danke schonmal!
lg Kai
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Kennst Du schon die  Moivre-Formel? Damit lassen sich Potenzen und Wurzeln von komplexnen Zahlen schnell ermitteln.
In Deinem Falle geht es auch etwas schneller.
Aus [mm] $z^6 [/mm] \ = \ 0$ folgt unmittelbar $z \ = \ 0 \ = \ 0+i*0$ .
Für den restlichen Term [mm] $z^3 [/mm] \ = \ -1$ kannst Du nun vorgehen wie vorgeschlagen:
[mm] $$z^3 [/mm] \ = \ [mm] (x+i*y)^3 [/mm] \ = \ ... \ = \ -1+0*i$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ich hab mal von der Moivre-Formel gehört, aber nie so recht Anwendungsbsp. gesehen...
Angenommen ich hätte [mm] z^4+27iz=0 \gdw z(z^3+27i)=0 \gdw [/mm] z=0 oder [mm] z^3=-27i=27*(cos(\bruch{3\pi}{2})+isin(\bruch{3\pi}{2})) \gdw z=3*(cos(\bruch{3\pi}{2})+isin(\bruch{3\pi}{2}))^{\bruch{1}{3}}=3*(cos(\bruch{\bruch{1}{3}*3\pi}{2})+isin(\bruch{\bruch{1}{3}*3\pi}{2}))=3*(cos(\bruch{\pi}{2})+isin(\bruch{\pi}{2})). [/mm]
Aber wie erhalte ich meine 3 verschiedenen Ergebnisse?
lg Kai
|
|
|
| |
|
Hallo kuemmelsche,
> Ich hab mal von der Moivre-Formel gehört, aber nie so recht
> Anwendungsbsp. gesehen...
>
> Angenommen ich hätte [mm]z^4+27iz=0 \gdw z(z^3+27i)=0 \gdw[/mm] z=0
> oder
> [mm]z^3=-27i=27*(cos(\bruch{3\pi}{2})+isin(\bruch{3\pi}{2})) \gdw z=3*(cos(\bruch{3\pi}{2})+isin(\bruch{3\pi}{2}))^{\bruch{1}{3}}=3*(cos(\bruch{\bruch{1}{3}*3\pi}{2})+isin(\bruch{\bruch{1}{3}*3\pi}{2}))=3*(cos(\bruch{\pi}{2})+isin(\bruch{\pi}{2})).[/mm]
>
> Aber wie erhalte ich meine 3 verschiedenen Ergebnisse?
Gemäß Moivre ergibt sich:
[mm]z_{k}=\wurzel[3]{27}*\left( \ \cos\left(\bruch{\bruch{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right) + i * \sin\left(\bruch{\bruch{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right) \ \right), k=0,1,2[/mm]
>
> lg Kai
Gruß
MathePower
|
|
|
|
