Gleichung auflösen mit 2 sinus < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 20.06.2007 | | Autor: | rapher |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen [mm] \alpha \varepsilon[0°;90°] [/mm] der Gleichung
[mm] 2*sin(5*\alpha) [/mm] - sin( [mm] \alpha) [/mm] = 0
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Jemand eine Idee? Hab in alle Richtungen umgeformt aber komme einfach auf nichts brauchbares ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo rapher,
du kannst deine Gleichung über folgende Beziehung umformen:
[mm]sin(x_{1})-sin(x_{2})=2*cos(\bruch{x_{1}+x_{2}}{2})*sin(\bruch{x_{1}-x_{2}}{2})[/mm]
[mm]x_{1}[/mm] wäre in diesem Fall [mm]5\alpha[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] wäre [mm]\alpha[/mm]. Wenn du es so umformst, musst du nur noch schauen, wann der Cosinus und der Sinus in der Gleichung 0 werden, damit der gesamte Ausdruck 0 wird.
Nachtrag: Sehe gerade den Vorfaktor 2 vor dem ersten Sinus, den habe ich wohl übersehen. Ich setze die Antwort auf fehlerhaft
Lieben Gruß,
Dirk
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 22:18 Mi 20.06.2007 | | Autor: | rapher |
Ahh Danke.
Bin mir nicht sicher ob ich die 2 vor dem [mm] sin(5*\alpha) [/mm] richtig verpackt habe, aber komme auf [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \alpha=45
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo rapher,
wie schon in der Antwort gesagt, die Gleichung ist leider falsch, da ja noch der Faktor 2 vor dem ersten Sinus steht. Graphisch sieht die Funktion so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Funktion hat also 3 Nullstellen von 0 bis pi/2.
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo rapher!
Du kannst hier auch folgendes ![[]](/images/popup.gif) Additionstheorem verwenden:
[mm] $\red{\sin(5\alpha) \ = \ 5*\sin(\alpha)-20*\sin^3(\alpha)+16*\sin^5(\alpha)} [/mm] \ = \ [mm] 16*\sin(\alpha)*\cos^4(\alpha)-12*\sin(\alpha)*\cos^2(\alpha)+\sin(\alpha)$
[/mm]
Anschließend dann $z \ := \ [mm] \sin(\alpha)$ [/mm] substituieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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