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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 01.10.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
hab ma eine frage zum lösen von gleichungen.wie löst man genau eine gleichung 4. und 5. grades? ich weiss man muss eine lösung vorgeben habe ode erraten un dann polynomdivsion oder so.kann mir da jemand das mal genau sagen un auch ein beispiel geben ?
danke
christopher
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Hallo der_puma,
> hab ma eine frage zum lösen von gleichungen.wie löst man
> genau eine gleichung 4. und 5. grades? ich weiss man muss
> eine lösung vorgeben habe ode erraten un dann
> polynomdivsion oder so.kann mir da jemand das mal genau
> sagen un auch ein beispiel geben ?
für Gleichungen ab 5. Grades gibt es keine geschlossenen Formeln.
Da muß man ein i.d.R. ein Näherungsverfahren anwenden, um die Nullstellen zu finden.
Gleichungen 4. Grades sind zwar formal lösbar. Diese Formeln sind aber höchst umständlich.
[mm]a\;x^{4}\;+\;b\;x^3\;+\;c\;x^2\;+\;d\;x\;+\;e\;=\;0[/mm]
Dies ist äquivalent mit (Division durch a):
[mm]x^{4}\;+\;A\;x^3\;+\;B\;x^2\;+\;C\;x\;+\;D\;= \;0[/mm]
Durch die Substitution [mm]x\;=\;y\;-\frac{A}{4}[/mm] geht die Gleichung über in:
[mm]y^{4}\;+\;p\;y^2\;+\;y\;x\;+\;r\;= \;0[/mm]
welche sich als Differenz zweier Quadrate darstellen läßt:
[mm]
\begin{gathered}
y^4 \; + \;p\;y^2 \; + \;q\;y\; + \;r\; = \;\left( {y^2 \; + \;\frac{\eta }
{2}} \right)^2 \; + \;\left( {p\; - \;\eta } \right)\;y^2 \; + \;q\;y\; + \;\left( {r\; - \;\frac{{\eta ^2 }}
{4}} \right) \hfill \\
= \;\left( {y^2 \; + \;\frac{\eta }
{2}} \right)^2 \; - \;\left( {\left( {\eta \; - \;p} \right)\;y^2 \; - \;q\;y\; + \;\left( {\;\frac{{\eta ^2 }}
{4}\; - \;r} \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Der letzte Klammerausdruck muß ein vollständiges Quadrat sein. Dies ist gewährleistet, wenn [mm]\eta[/mm] gemäß
[mm]\left( {\eta \; - \;p} \right)\;\left( {\;\eta ^2 \; - \;4\;r} \right)\; = \;q^2[/mm]
gewählt wird. Hierzu ist das Lösen einer kubischen Gleichung erforderlich.
Dann folgt:
[mm]
\begin{gathered}
y^4 \; + \;p\;y^2 \; + \;q\;y\; + \;r\; = \;\left( {y^2 \; + \;\frac{\eta }
{2}} \right)^2 \; - \;\left( {\alpha \;y\; + \;\beta } \right)^2 \hfill \\
= \;\left( {y^2 \; + \;\alpha \;y\; + \;\beta \; + \;\frac{\eta }
{2}} \right)\;\left( {y^2 \; - \;\alpha \;y\; - \;\beta \; + \;\frac{\eta }
{2}} \right) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
mit
[mm]
\begin{gathered}
\alpha ^2 \; = \;\eta \; - \;p \hfill \\
\beta ^2 \; = \;\frac{{\eta ^2 }}
{4}\; - \;r \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Die Lösungen der reduzierten Gleichung 4. Grades ergeben sich dann als Lösungen der beiden quadratischen Gleichungen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 01.10.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
schonam danke,aber geht das nicht leichert ?
ich mein eine gleichung 4.grades is doch darstellbar als
(x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4)
also geht es nicht auch dass man eine gleichung 4.grades ganz einfach duch (x²-(eine lösung)) teil un dann ne quadratische gleichung löst????
gruß christopher
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Hi, Puma,
trägst Du eigentlich auch mal adidas-Schuhe?
Aber zu Deiner Frage: Mathe-Power hat Dir gezeigt, wie man vorgehen würde, wenn man keine Lösungen raten kann. Zum Glück kommt das selten vor! Daher hier ein Beispiel für eine Gleichung 4. Grades, wo Du "auf übliche Art" zum Ziel kommst:
[mm] x^{4} [/mm] - [mm] 5x^{3} [/mm] + [mm] 4x^{2} [/mm] + 7x - 3 = 0
Du rätst zunächst z.B. [mm] x_{1} [/mm] = -1, denn:
[mm] (-1)^{4} [/mm] - [mm] 5*(-1)^{3} [/mm] + [mm] 4*(-1)^{2} [/mm] + 7*(-1) - 3 = 0
Daher muss die Polynomdivision
[mm] (x^{4} [/mm] - [mm] 5x^{3} [/mm] + [mm] 4x^{2} [/mm] + 7x - 3) : (x + 1) aufgehen.
Ergebnis dieser Division: [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 10x - 3
Nun musst Du diesen Term =0 setzen:
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 10x - 3 = 0.
Wieder kannst Du eine Lösung raten; diesmal ist es: [mm] x_{2} [/mm] = 3, denn:
[mm] 3^{3} [/mm] - [mm] 6*3^{2} [/mm] + 10*3 - 3 = 0.
Erneute Polynomdivision:
[mm] (x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] + 10x - 3) : (x - 3) = [mm] x^{2} [/mm] - 3x + 1
Die restlichen Lösungen kriegst Du nun mit p/q-Formel (oder auch mit der "Mitternachtsformel"):
[mm] x^{2} [/mm] - 3x + 1 = 0
[mm] x_{3/4} [/mm] = [mm] \bruch{3 \pm \wurzel{5}}{2}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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