(Gleichmäßige) Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:17 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | | Untersuche [mm]f:[0,\infty)\to\IR[/mm] mit [mm] f(x)=x^{sin(x)},[/mm] [mm]f(0)=1[/mm] auf Stetigkeit bzw. gleichmäßige Stetigkeit. |
Hallo!
Bei der Aufgabe hab ich zunächst das Problem, dass ich nicht sicher weiß was ich beweisen soll. Aber ich vermute mal die Funktion ist stetig aber nicht gleichmäßig stetig. Ich will jetzt also zunächt einmal die stetigkeit beweisen mit Epsilon-Delta-Definition.. Der erste Fall in dem sowohl x als auch x' gleich 0 sind ist klar. Aber dann weiß ich nicht weiter..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Hollo |
Die Fälligkeit sollte gar nicht auf 24 Stunden stehen. Naja jetzt ist sie wieder länger...
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> Untersuche [mm][mm]f:[0,\infty)\to\IR[/mm][/mm] mit [mm]f(x)=x^{sin(x)},[/mm] [mm][mm]f(0)=1[/mm][/mm] auf Stetigkeit bzw. gleichmäßige Stetigkeit.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Hallo![/mm][/mm]
> [mm][mm] Bei der Aufgabe hab ich zunächst das Problem, dass ich nicht sicher weiß was ich beweisen soll. Aber ich vermute mal die Funktion ist stetig aber nicht gleichmäßig stetig. Ich will jetzt also zunächt einmal die stetigkeit beweisen mit Epsilon-Delta-Definition.. Der erste Fall in dem sowohl x als auch x' gleich 0 sind ist klar. Aber dann weiß ich nicht weiter.. [/mm][/mm]
Hallo,
es ist ja [mm] f(x)=x^{sin(x)}=e^{ln(x)sin(x)}, [/mm] und somit (Verkettung stetiger Funktionen) steht nur noch die Stetigkeit im Punkt 0 zur Debatte.
Sei [mm] 1>\varepsilon>0. [/mm] Für alle x mit [mm] |x|<\delta:=1-\varepsilon [/mm] gilt:
[mm] |f(x)-f(0)|=|x^{sin(x)}-1|=|e^{ln(x)sin(x)}-1|=1-e^{ln(x)sin(x)} [/mm] (ln(x) ist neg,, sinx pos.)
[mm] <1-\delta^{sin(\delta]} [/mm] (denn [mm] x^{sin(x)} [/mm] ist für kleine x monoton fallend, also [mm] 1-x^{sin(x)} [/mm] monoton wachsend)
[mm] <1-\delta=\varepsilon. [/mm] (denn [mm] \delta, sin\delta [/mm] liegen zwischen 0 und 1)
Damit hat man die Stetigkeit.
Über die gleichmäßige Stetigkeit kann ich im Moment nicht nachdenken, [mm] x^{sin(x)} [/mm] hat mir seltsame Knoten ins Gehirn gemacht. Vielleicht später...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Hollo |
Hi,
vielen Dank für die Hilfe. Ich hab die Funktion zum Spaß mal von Derive zeichnen lassen, das sieht echt total chaotisch aus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Habe mir nur gerade den Graphen angesehen. Da die Funktion eine enorme Steigung besitzt, wird sie vermutlich nicht gleichmäßig stetig sein.
Also stell dich auf einen Widerspruchsbeweis ein.
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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