Gleichmäßige Konvergenz zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge
[mm] $f_n:\IR\to\IR\quad;\quad\quad f_n(x):=\frac{\sin(nx)}{\sqrt(n)}$
[/mm]
gleichmäßig konvergent ist, die Folge ihrer Ableitungen aber nirgends konvergiert. |
Hallo. Da mir vor zwei Wochen hier so gut geholfen wurde, versuch ichs gleich noch mal :)
Ich schaff es hier nicht zu zeigen, dass [mm] $f_n(x)$ [/mm] gleichmäßig konvergent ist.
Ich muss also zeigen, dass
[mm] $||f-f_n||_\infty\to0$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Doch wie mach ich das hier? Wie komm ich auf die Grenzfunktion?
......................
zum zweiten Teil:
Die Folge der Ableitungen müsste sein:
[mm] $f_{n}^{(k)}(x)=\frac{n^k}{\sqrt{n}}\sin(nx)$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Was machst es nun für einen Unterschied, ob vor dem [mm] $\sin(nx)$ [/mm] der Faktor [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}$ [/mm] oder [mm] $\frac{n^k}{\sqrt{n}}$ [/mm] steht?
Hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 02.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]f_n:\IR\to\IR\quad;\quad\quad f_n(x):=\frac{\sin(nx)}{\sqrt(n)}[/mm]
[mm]||f-f_n||_\infty\to0[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]
da
[mm] |\frac{\sin(nx)}{\sqrt(n)}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] ist das ganze gegen 0 gleichmäßig konvergent
Die Folge der Ableitungen ist:
[mm]f_{n}^{(k)}(x)=\pm 1*n^{k-\bruch{1}{2}}(sin)oder(cos)(nx)[/mm] je nachdem
und das ist wegen der Oszillaiton von sin x und cos x nirgends konvergent
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