Gleichmäßige Konvergenz von F < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | a) Entscheiden Sie, ob die Funktionenfolge [mm] f_{n}(x)=e^{ - nx} [/mm] , n [mm] \in [/mm] IN, auf dem Intervall [0, 1] nicht, punktweise oder gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert. Geben Sie, falls existent, die Grenzfunktion an. |
Hallo,
hier mein Vorgehen:
[mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{ - nx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } 0
--> Daraus folgt punktweise konvergent.
Für gleichmäßige Konvergenz gilt: [mm] |f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{e^{nx}}-1|\le a_{n} [/mm] --> keine gleichmäßige Konvergenz
[mm] |\bruch{1}{e^{nx}}-0|\le a_{n} [/mm] --> keine gleichmäßige Konvergenz
korrekt?
Danke vielmals für die Korrektur.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Fr 22.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Entscheiden Sie, ob die Funktionenfolge [mm]f_{n}(x)=e^{ - nx}[/mm]
> , n [mm]\in[/mm] IN, auf dem Intervall [0, 1] nicht, punktweise oder
> gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert. Geben
> Sie, falls existent, die Grenzfunktion an.
> Hallo,
>
> hier mein Vorgehen:
>
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{ - nx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } 0
>
> --> Daraus folgt punktweise konvergent.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für gleichmäßige Konvergenz gilt: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}[/mm]
Was soll das bedeuten?
[mm] $f_n$ [/mm] konvergiert glm. gegen f, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N_0\in\IN$ [/mm] gibt, sodass
[mm] |f_n(x) -f(x) | <\varepsilon [/mm] für alle [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] und alle [mm] $n>N_0$.
[/mm]
Das ist insbesondere dann der Fall, wenn
[mm]\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x) -f(x) | <\varepsilon [/mm] für alle [mm] $n>N_0$ [/mm] .
Tipp: Was weisst du über den glm. Limes einer Folge stetiger Funktionen?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> > a) Entscheiden Sie, ob die Funktionenfolge [mm]f_{n}(x)=e^{ - nx}[/mm]
> > , n [mm]\in[/mm] IN, auf dem Intervall [0, 1] nicht, punktweise oder
> > gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert. Geben
> > Sie, falls existent, die Grenzfunktion an.
> > Hallo,
> >
> > hier mein Vorgehen:
> >
> >
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{ - nx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } 0
>
> >
> > --> Daraus folgt punktweise konvergent.
>
>
>
> >
> > Für gleichmäßige Konvergenz gilt: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}[/mm]
>
> Was soll das bedeuten?
>
> [mm]f_n[/mm] konvergiert glm. gegen f, wenn es zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_0\in\IN[/mm] gibt, sodass
>
> [mm]|f_n(x) -f(x) | <\varepsilon[/mm] für alle [mm]x\in[0,1][/mm] und alle
> [mm]n>N_0[/mm].
>
> Das ist insbesondere dann der Fall, wenn
>
> [mm]\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x) -f(x) | <\varepsilon[/mm] für alle
> [mm]n>N_0[/mm] .
Ich habe das öfters in der Fachliteratur gelesen und verstehe das irgendwie nicht: was ist [mm] \varepsilon [/mm] und was ist [mm] N_{0} [/mm] ?
>
> Tipp: Was weisst du über den glm. Limes einer Folge
> stetiger Funktionen?
Schaue ich nach.
>
> Viele Grüße
> Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Sa 23.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > a) Entscheiden Sie, ob die Funktionenfolge [mm]f_{n}(x)=e^{ - nx}[/mm]
> > > , n [mm]\in[/mm] IN, auf dem Intervall [0, 1] nicht, punktweise oder
> > > gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert. Geben
> > > Sie, falls existent, die Grenzfunktion an.
> > > Hallo,
> > >
> > > hier mein Vorgehen:
> > >
> > >
> >
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{ - nx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } 0
>
> >
> > >
> > > --> Daraus folgt punktweise konvergent.
> >
> >
> >
> > >
> > > Für gleichmäßige Konvergenz gilt: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}[/mm]
>
> >
> > Was soll das bedeuten?
> >
> > [mm]f_n[/mm] konvergiert glm. gegen f, wenn es zu jedem
> > [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_0\in\IN[/mm] gibt, sodass
> >
> > [mm]|f_n(x) -f(x) | <\varepsilon[/mm] für alle [mm]x\in[0,1][/mm] und alle
> > [mm]n>N_0[/mm].
> >
> > Das ist insbesondere dann der Fall, wenn
> >
> > [mm]\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x) -f(x) | <\varepsilon[/mm] für alle
> > [mm]n>N_0[/mm] .
>
> Ich habe das öfters in der Fachliteratur gelesen und
> verstehe das irgendwie nicht: was ist [mm]\varepsilon[/mm] und was
> ist [mm]N_{0}[/mm] ?
Das ist die Definition der glm. Konvergenz. Der Unterschied zur punktweisen Konvergenz ist, dass du dort zu jedem x ein anderes [mm] $N_0$ [/mm] wählen kannst.
Schreib mal genau auf, was du nicht verstehst, bzw. was du meinst.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> > > Hallo!
> > >
> > > > a) Entscheiden Sie, ob die Funktionenfolge [mm]f_{n}(x)=e^{ - nx}[/mm]
> > > > , n [mm]\in[/mm] IN, auf dem Intervall [0, 1] nicht, punktweise oder
> > > > gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert. Geben
> > > > Sie, falls existent, die Grenzfunktion an.
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > hier mein Vorgehen:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{ - nx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } 0
>
> >
> > >
> > > >
> > > > --> Daraus folgt punktweise konvergent.
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Für gleichmäßige Konvergenz gilt: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Was soll das bedeuten?
> > >
> > > [mm]f_n[/mm] konvergiert glm. gegen f, wenn es zu jedem
> > > [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_0\in\IN[/mm] gibt, sodass
> > >
> > > [mm]|f_n(x) -f(x) | <\varepsilon[/mm] für alle [mm]x\in[0,1][/mm] und alle
> > > [mm]n>N_0[/mm].
> > >
> > > Das ist insbesondere dann der Fall, wenn
> > >
> > > [mm]\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x) -f(x) | <\varepsilon[/mm] für alle
> > > [mm]n>N_0[/mm] .
> >
> > Ich habe das öfters in der Fachliteratur gelesen und
> > verstehe das irgendwie nicht: was ist [mm]\varepsilon[/mm] und was
> > ist [mm]N_{0}[/mm] ?
>
> Das ist die Definition der glm. Konvergenz. Der Unterschied
> zur punktweisen Konvergenz ist, dass du dort zu jedem x ein
> anderes [mm]N_0[/mm] wählen kannst.
Was genau ist das [mm] N_{0} [/mm] ?
Wie kann ich jetzt zeigen, dass die Reihe gleichmäßig konvergiert oder nicht? Ich habe die punktweise Konvergenz verstanden, aber nicht so ganz die gleichmäßige Konvergenz???
>
> Schreib mal genau auf, was du nicht verstehst, bzw. was du
> meinst.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist wichtig, dass du mit den Definitionen aus deiner Vorlesung arbeiten lernst.
Wie habt ihr gleichmäßige Konvergenz definiert?
dann har rainer vielleicht nur andere Buchstaben verwendet und du erkennst es nicht wieder.
also schreib bitte deine (eure) Definition von glm. Konvergenz erstmal auf. Dann haben wir ne Basis zum argumentieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
im skript steht was ähnliches, aber ich kann damit nichts anfangen:
Definition: Eine Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n\ge n_{0}} [/mm] (auf I) heißt gleichmäßig konvergent gegen eine Grenzfunktion f, falls es eine Nullfolge [mm] (a_{n})_{n\ge n_{0}} [/mm] gibt mit
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|\le a_{n} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] I , [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
ich verstehe dieses [mm] n_{0} [/mm] nicht? wie soll ich eine nullfolge für meine aufgabe [mm] \bruch{1}{e^{nx}} [/mm] finden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 24.04.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
[mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] könnten doch für die ersten paar tausend oder Millionen oder Trillionen sehr groß sein. dass etwa konvergiert, heisst doch dass es eben eine Zahl [mm] n_0 [/mm] gibt ab der die differenz kein wird. für [mm] \epsilon [/mm] =2 könnte [mm] n_0 [/mm] z. bsp 17 sein, für [mm] \epsilon [/mm] =0.01 könnte es erst ab n=1000000 gelten usw. d.h. im allgemeinen hängt [mm] n_0 [/mm] von [mm] \epsilon [/mm] ab.
wenn was punktweise existiert, kann man für jeden Punkt [mm] x_1 [/mm] so eine zahl finden zu jedem [mm] \epsilon. [/mm] aber welches [mm] n_0 [/mm] man nehmen kann hängt noch von der stelle [mm] x_0 [/mm] ab.
nur wenn due für ALLE x in dem betrachteten Intervall ein [mm] n_0(/epsilon) [/mm] findest, das nicht mehr von der Stelle x abhängt, ist dei Konvergenz gleichmäßig.
Wenn du so ne def. nicht verstehst, solltest du am anfang danach fragen, wie sollen wir sonst wissen wo es bei dir hakt. Irgendwelche aufgaben anzugehen, ohne die definition der Begriffe verstanden zu haben ist eigentlich immer erfolglos, oder planloses Rumraten.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Moin,
ich habe jetzt sehr viele Antworten bekommen und es hat sich einiges geklärt, aber ich weiß irgendwie nicht wie ich jetzt zeigen soll, dass die Funktion gleichmäßig konvergiert oder nicht:
[mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{ - nx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{nx}}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } 0
das ist punktweise konvergent.
so und jetzt an die gleichmäßige konvergenz:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}
[/mm]
Fall 1: [mm] |\bruch{1}{e^{nx}}-1|\le a_{n}
[/mm]
Fall 2: [mm] |\bruch{1}{e^{nx}}-0|\le a_{n}
[/mm]
Bei Fall 1 gibt es keine gleichmäßige weil das keine Nullfoge ist, aber bei Fall 2 handelt es sich um eine Nullfolge [mm] |\bruch{1}{e^{nx}}|\le a_{n} [/mm] und somit gleichmäßig konvergent.
korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Deine Funktionenfolge ist nicht glm. konvergent, denn alle [mm] f_n [/mm] sind stetig, die Grenzfunktion aber nicht.
FRED
|
|
|
|
