Gleichmäßige Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (f_{n})^{\infty}_{n=0} [/mm] eine Funktionenfolge [mm] f_{n}:[0,1]-> \IR [/mm] die punktweise gegen eine Grenzfunktion f konvergiert. Beweisen Sie: Wenn die Konvergenz auf dem offenen Intervall (0,1) gleichmäßig ist, dann ist sie auf dem gesamten Intervall [0,1] gleichmäßig. |
Bei dieser Aufgabe habe ich ehrlich gesagt überhaupt gar keine Idee.
f ist gleichmäßig konvergent auf (0,1) [mm] \Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}, [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1): [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x) | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Zu zeigen: [mm] \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]: [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x) | < [mm] \varepsilon [/mm]
Hm nun ja hat da jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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Hallo!
> Sei [mm](f_{n})^{\infty}_{n=0}[/mm] eine Funktionenfolge
> [mm]f_{n}:[0,1]-> \IR[/mm] die punktweise gegen eine Grenzfunktion f
> konvergiert. Beweisen Sie: Wenn die Konvergenz auf dem
> offenen Intervall (0,1) gleichmäßig ist, dann ist sie auf
> dem gesamten Intervall [0,1] gleichmäßig.
> Bei dieser Aufgabe habe ich ehrlich gesagt überhaupt gar
> keine Idee.
> f ist gleichmäßig konvergent auf (0,1) [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_{0},[/mm] x [mm]\in[/mm] (0,1): [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x) | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]\forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_{0},[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x) | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Hm nun ja hat da jemand einen Tipp für mich?
Du hast doch schon glm. Konvergenz auf (0,1). Du musst also für vorgegebenes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ nur noch das [mm] $n_0$ [/mm] so vergrößern, dass es auch für x = 0 und x = 1 mit der Aussage klappt!
Nutze dazu die punktweise Konvergenz.
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Wegen glm. Konv. bekommen wir ein [mm] $N_1 \in \IN: \forall n\ge N_1 \forall x\in [/mm] (0,1): [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wegen punktweiser Konv. in x = 0 bekommen wir [mm] $N_2 \in \IN: \forall n\ge N_2: |f_n(0) [/mm] - f(0)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wegen punktweiser Konv. in x = 1 bekommen wir [mm] $N_3 \in \IN: \forall n\ge N_3: |f_n(1) [/mm] - f(1)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Was ist also für $n [mm] \ge [/mm] N := [mm] max(N_1, N_2, N_3)$ [/mm] ?
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo!
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> > Sei [mm](f_{n})^{\infty}_{n=0}[/mm] eine Funktionenfolge
> > [mm]f_{n}:[0,1]-> \IR[/mm] die punktweise gegen eine Grenzfunktion f
> > konvergiert. Beweisen Sie: Wenn die Konvergenz auf dem
> > offenen Intervall (0,1) gleichmäßig ist, dann ist sie auf
> > dem gesamten Intervall [0,1] gleichmäßig.
> > Bei dieser Aufgabe habe ich ehrlich gesagt überhaupt
> gar
> > keine Idee.
> > f ist gleichmäßig konvergent auf (0,1) [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN \forall[/mm]
> > n [mm]\ge n_{0},[/mm] x [mm]\in[/mm] (0,1): [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x) | < [mm]\varepsilon[/mm]
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> > Zu zeigen: [mm]\forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN \forall[/mm]
> > n [mm]\ge n_{0},[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]: [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x) | < [mm]\varepsilon[/mm]
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> > Hm nun ja hat da jemand einen Tipp für mich?
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> Du hast doch schon glm. Konvergenz auf (0,1). Du musst also
> für vorgegebenes [mm]\varepsilon > 0[/mm] nur noch das [mm]n_0[/mm] so
> vergrößern, dass es auch für x = 0 und x = 1 mit der
> Aussage klappt!
>
> Nutze dazu die punktweise Konvergenz.
> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm]. Wegen glm. Konv. bekommen wir ein [mm]N_1 \in \IN: \forall n\ge N_1 \forall x\in (0,1): |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon[/mm].
>
> Wegen punktweiser Konv. in x = 0 bekommen wir [mm]N_2 \in \IN: \forall n\ge N_2: |f_n(0) - f(0)| < \varepsilon[/mm].
>
> Wegen punktweiser Konv. in x = 1 bekommen wir [mm]N_3 \in \IN: \forall n\ge N_3: |f_n(1) - f(1)| < \varepsilon[/mm].
>
> Was ist also für [mm]n \ge N := max(N_1, N_2, N_3)[/mm] ?
Dann gilt [mm] \forall n\ge [/mm] N [mm] \forall x\in [/mm] [0,1]: [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm]
> Viele Grüße,
> Stefan
Vielen Dank.
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