Gleichheit zweier Summen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Planlos |
| Aufgabe | | Bei einem Tennisturnier mit k-Spielern spielt jeder gegen jeden. Es sei [mm] S_{e} [/mm] die Anzahl der Siege, [mm] N_{e} [/mm] die Anzahl der Niederlagen des Spielers e. Man beweise: [mm] \summe_{e=1}^{k}(S_{e})^2=\summe_{e=1}^{k}(N_{e})^2 [/mm] |
Wenn ich mir nun ein Turnier zurecht bastel wo 6 Spieler teilnehmen wäre eine Möglichkeit, dass Spieler 1,2,3,4 und 5 je 3 Spiele gewinnen und Spieler 6 keins. Weiter könnten Spieler 1,2,3,4 und 5 je 2 Spiele verlieren und Spieler 6 verliert alle seine Spiele, also 5.
=> [mm] \summe_{e=1}^{k}(S_{e})^2=3^2+3^2+3^2+3^2+3^2+0^2=45 [/mm] und
[mm] \summe_{e=1}^{k}(N_{e})^2=2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+5^2=45.
[/mm]
Mir ist absoulut unklar warum die Gleichheit gegeben ist. Vor allem bei n Spielern. Woran liegt das?? Kann man das am besten mit Induktion zeigen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bei einem Tennisturnier mit k-Spielern spielt jeder gegen
> jeden. Es sei [mm]S_{e}[/mm] die Anzahl der Siege, [mm]N_{e}[/mm] die Anzahl
> der Niederlagen des Spielers e. Man beweise:
> [mm]\summe_{e=1}^{k}(S_{e})^2=\summe_{e=1}^{k}(N_{e})^2[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich habe mir folgendes überlegt:
1. Die Gesamtsumme der Siege ist so groß wie die Gesamtsumme der Niederlagen, also [mm] \summe S_e [/mm] = [mm] \summe N_e.
[/mm]
2. Bei n Spielern spielt jeder Spieler n-1 Spiele.
3. Die Summe der gewonnen und der verlorenen Spiele eines einzelnen spielers ergibt die Anzahl der von ihm gespielten Spiele. (Ich gehe davon aus, daß unentschieden nicht vorkommt.)
Das war das, was zu denken war. Ab jetzt rechne ich nur noch:
[mm] \summe S_e^2 [/mm] - [mm] \summe N_e^2
[/mm]
= [mm] \summe (S_e^2 [/mm] - [mm] N_e^2)
[/mm]
= [mm] \summe ((S_e [/mm] - [mm] N_e)(S_e [/mm] + [mm] N_e))
[/mm]
= [mm] \summe ((S_e [/mm] - [mm] N_e)(n-1)) [/mm] (wegen 3.)
=(n-1) [mm] \summe (S_e [/mm] - [mm] N_e)
[/mm]
= ... = ??? ==> !!!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Planlos |
Erstmal besten Dank Angela. Sorry dass das mit meiner Reaktion etwas gedauert hat, aber ich hab grad angefangen Mathe zu studieren und musste das erstmal verdauen. Deine Antwort hat mir auf jeden Fall weitergeholfen, nur versteh ich nicht ganz, wo das am ende hinführt. Darum hab ich deine Ideen genutzt und versucht das ganze auf nem etwas anderem Weg zu lösen.
1. sage ich das natürlich [mm] gilt:\summe_{e=1}^{k}S_{e}=\summe_{e=1}^{k}N_{e} [/mm] und => [mm] \summe_{e=1}^{k}S_{e}-\summe_{e=1}^{k}N_{e}=0
[/mm]
Wie du schon sagtest macht jeder Spieler k-1 Spiele
=> 2. Anzahl aller Spiele = [mm] \summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(k-1)).
[/mm]
Da weiterhin gilt: Anzahl der Spiele eines Spielers = [mm] S_{e}+N_{e}
[/mm]
folgt daraus: = [mm] \summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(k-1))=\summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(S_{e}+N_{e})
[/mm]
= [mm] \summe_{e=1}^{k}(S_{e}^2-N_{e}^2)=0
[/mm]
[mm] =\summe_{e=1}^{k}S_{e}-\summe_{e=1}^{k}N_{e}=0
[/mm]
[mm] =>\summe_{e=1}^{k}S_{e}=\summe_{e=1}^{k}N_{e}
[/mm]
Könnte man das in etwa so aufschreiben oder bin ich da auf nem Holzweg?? Nochmal danke für die Hilfe!!
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> nur versteh
> ich nicht ganz, wo das am ende hinführt.
Das soll dazu führen, daß
$ [mm] \summe S_e^2 [/mm] $ - $ [mm] \summe N_e^2 [/mm] $
= $ [mm] \summe (S_e^2 [/mm] $ - $ [mm] N_e^2) [/mm] $
= $ [mm] \summe ((S_e [/mm] $ - $ [mm] N_e)(S_e [/mm] $ + $ [mm] N_e)) [/mm] $
= $ [mm] \summe ((S_e [/mm] $ - $ [mm] N_e)(n-1)) [/mm] $ (wegen 3.)
=(n-1) $ [mm] \summe (S_e [/mm] $ - $ [mm] N_e) [/mm] $
nach weiteren winzigen Schritten 0 ergibt und somit mit $ [mm] \summe S_e^2 [/mm] $ - $ [mm] \summe N_e^2 [/mm] $=0 die Behauptung bewiesen ist.
Darum hab ich
> deine Ideen genutzt und versucht das ganze auf nem etwas
> anderem Weg zu lösen.
Das ist prinzipiell noch löblicher!
> 1. sage ich das natürlich
> [mm]gilt:\summe_{e=1}^{k}S_{e}=\summe_{e=1}^{k}N_{e}[/mm] und =>
> [mm]\summe_{e=1}^{k}S_{e}-\summe_{e=1}^{k}N_{e}=0[/mm]
Den folge ich gut.
> Wie du schon sagtest macht jeder Spieler k-1 Spiele
Genau.
> => 2. Anzahl aller Spiele =
> [mm]\summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(k-1)).[/mm]
Dies trifft nur in dem Fall zu, in welchem nicht gespielt wurde.
Es ist nämlich
[mm] \summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(k-1))=0
[/mm]
Die Anzahl aller Spiele beträgt k(k-1)/2
> Da weiterhin gilt: Anzahl der Spiele eines Spielers =
> [mm]S_{e}+N_{e}[/mm]
Ja.
> folgt daraus: =
> [mm]\summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(k-1))=\summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(S_{e}+N_{e})[/mm]
> = [mm]\summe_{e=1}^{k}(S_{e}^2-N_{e}^2)=0[/mm]
Ich weiß nicht, woher Du diese Null bekommst. (obgleich sie stimmt...)
> [mm]=\summe_{e=1}^{k}S_{e}-\summe_{e=1}^{k}N_{e}=0[/mm]
Was bezweckst Du hiermit?
> [mm]=>\summe_{e=1}^{k}S_{e}=\summe_{e=1}^{k}N_{e}[/mm]
Diese Information ist keine Neuigkeit. Du schreibst sie ja schon unter 1.
Zeigen wolltest Du doch, daß [mm] \summe_{e=1}^{k}S_{e}^2=\summe_{e=1}^{k}N_{e}^2 [/mm] ist.
Atme tief durch, entwirr Dich.
Du bist auf einem guten Weg.
Hiermit
= $ [mm] \summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(k-1))=\summe_{e=1}^{k}((S_{e}-N_{e})(S_{e}+N_{e}) [/mm] $
= $ [mm] \summe_{e=1}^{k}(S_{e}^2-N_{e}^2)=0 [/mm] $
hast Du es ja schon fast dastehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Planlos |
Jetzt ist der Groschen gefallen. Ich habs jetzt so stehen wie ich es abgeben werde. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe und noch viel Spass für den Rest des Wochenendes. Cya
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