Gleichheit zweier Flächen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es gibt keine exakte Aufgabe, es geht mir bei dieser Frage um Verständnis. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zwei Flächen, welche die gleichen Koordinaten haben.
Im einfachen Fall handelt es sich hierbei um zwei Rechtecke. Die Flächen liegen sich gegenüber, haben also eine entgegengesetzte Umlaufrichtung. Die Flächen sind nicht eben!
Wenn ich mir einen beliebigen Punkt auf der einen Fläche aussuche und die Normale bilde, habe ich damit die Vorder- und die Rückseite bestimmt.
Kann ich nun für die zweite Fläche denselben Punkt nehmen, um mit der Normalen die Vorder- und Rückseite zu bestimmen?
Das ich das kann ist mir klar, die Frage, die ich habe zielt eher darauf ab, ob es Sinn macht.
Sollte ich mich zu unklar ausgedrückt haben, bitte kurz mitteilen, damit ich die Frage präzisieren kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Mo 11.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Stefan,
> Ich habe zwei Flächen, welche die gleichen Koordinaten
> haben.
was soll es bedeuten, daß Flächen "gleiche Koordinaten" haben?
> Im einfachen Fall handelt es sich hierbei um zwei
> Rechtecke. Die Flächen liegen sich gegenüber,
was bedeutet "gegenüber"?
> haben also eine entgegengesetzte Umlaufrichtung.
für eine Umlaufrichtung bräuchten wir Eckpunkte.
> Die Flächen sind nicht eben!
also Flächen im Raum?
Dann gibt es Probleme mit der Umlaufrichtung. Es ist auf Anhieb nicht ersichtlich, wie die überhaupt noch definiert sein soll.
Möglicherweise gibt es ja nicht einmal mehr einen Rand.
> Wenn ich mir einen beliebigen Punkt auf der einen Fläche
> aussuche und die Normale bilde, habe ich damit die Vorder-
> und die Rückseite bestimmt.
> Kann ich nun für die zweite Fläche denselben Punkt nehmen,
> um mit der Normalen die Vorder- und Rückseite zu
> bestimmen?
hier verstehe ich nicht mehr viel. Wenn die Flächen alle Punkte gemeinsam haben, dann sind es die selben Flächen.
> Das ich das kann ist mir klar, die Frage, die ich habe
> zielt eher darauf ab, ob es Sinn macht.
Sinn ist immer eine Frage der Zielsetzung.
Vielleicht solltest du das Problem tatsächlich noch etwas präzisieren.
LG
Will
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Ich versuche ein wenig präziser zu sein, mein Matheverständnis ist aber nicht das Beste.
Nehmen wir an, wir haben zwei Körper im Raum.
Körper A, und Körper B. Beide bestehen aus einer nicht bekannten Anzahl an Flächen. Um es einfach zu halten, nehmen wir zwei Hexaeder an.
Nun ist so, dass Fläche a1 und Fläche b1 die gleichen Koordinaten (Eckepunkte) haben.
A und B berühren sich meiner Meinung nach.
Es ist allerdings nicht sichergestellt, dass die Flächen, mit denen sie sich berühren eben sind.
Nun möchte ich kontrollieren, ob b1 und a1 in die gleiche Vorder- und Rückseite haben. Dies kann ich meines Wissens nach mittels Normalenbildung erreichen.
Ich vergleiche ich die Normalen von a1 und b1. Haben sie die gleiche Richtung, kann ich davon ausgehen, dass a1 und b1 die gleiche Umlaufrichtung haben (B würde dann wohl teilweise oder vollständig in A liegen). Haben die Normalen unterschiedliche Richtungen, liegen sich a1 und b1 'gegenüber'.
Wären beide Flächen eben, könnte ich die Normalen einfach berechnen und überprüfen, ob die Umlaufrichtung entgegengesetzt ist.
Sind die Flächen jetzt aber nicht eben, muss ich mir einen Punkt aussuchen.
Nehmen wir an, ich nehme Punkt c. c liegt auf den Flächen a1 und b1.
Für c kann ich jetzt eine Normale auf a1 und eine auf b1 erzeugen.
Diese Normalen kann ich wieder auf ihre Richtung vergleichen und entscheiden, ob die Fläche die gleiche Umlaufrichtung haben.
Was ich nicht weiß ist, ob es mathematisch Sinn macht einen solchen Vergleich anzustellen, wenn die Flächen nicht eben sind.
Ich vermute, dass es Sinn machen würde, bin mir aber nicht sicher.
Sollte ich irgendwie ein Brett vor dem Kopf haben und etwas offensichtliches nicht sehen, wäre ich für den Hinweis dankbar.
Vielen Dank im Vorraus.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich habe den Eindruck, daß es sich bei Deinem Problem nicht um eines der linearen Algebra handelt, auch wenn Vektoren vorkommen.
Ich glaube auch nicht, daß ich Dir weiterhelfen kann, aber vielleicht beschreibst Du (für andere!) mal, in welchem Kontext Du auf Dein Problem gestoßen bist.
Was willst Du tun, was erreichen?
Ein vages Gefühl sagt mir, daß es hier irgendwie um die Darstellung v. 3-dimensionalen Gebilden geht, Du möglicherweise ein Programm schreiben sollst oder sowas in der Richtung.
Ach - gerade sehe ich: Du studierst Informatik - da könnte ich ja richtig liegen mit meiner Vermutung.
Gruß v. Angela
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Es handelt sich um kein konkretes Problem, sondern nur um eine Verständnisfrage.
Ich frage mich, ob es mathematisch Sinn macht, so zu überprüfen, ob sich zwei Flächen mit ihren Vorderseiten gegenüber liegen.
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> Es handelt sich um kein konkretes Problem, sondern nur um
> eine Verständnisfrage.
> Ich frage mich, ob es mathematisch Sinn macht, so zu
> überprüfen, ob sich zwei Flächen mit ihren Vorderseiten
> gegenüber liegen.
Es ist immer noch nicht klar, was du genau beabsichtigst.
Wie willst du die Flächen konkret darstellen ?
Was bezeichnest du als die "Vorderseite" einer Fläche ?
Was meinst du mit Flächen, die sich "gegenüber liegen" ?
Es würde sich lohnen, die Frage trotzdem zu konkretisieren.
Sonst zweifle ich daran, dass du dein Verständnis davon
verbessern kannst.
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Darstellen möchte ich die Flächen nicht. Es handelt sich nur um eine theoretische Frage.
Aber man könnte als Beispiel einfach mal zwei Würfel (Spielwürfel) nehmen.
Nehmen wir also die Fläche mit der '1' drauf.
Die Fläche, die man sieht ist die Vorderseite in meinem Fall. Die Seite, die ich nicht sehe ist die Rückseite. Sie liegt im Würfel.
Jetzt habe ich einen zweiten Würfel. Auch bei dem nehmen wir die Fläche mit der '1' drauf.
Legen wir die Würfel aneinander, so dass sich die Flächen mit den '1'en berühren, haben wir die Ausgangssituation meines Verständnisproblems.
Nehmen wir an, die beiden Würfelflächen liegen so nahm beieinander, dass angenommen werden kann, dass die 4 Eckpunkte der Fläche identisch sind.
Würfel A und Würfel B sind aus unterschiedlichen Chargen und haben keine ebene Fläche '1'. Die Eckpunkte stimmen aber überein.
Mit Hilfe des Normalenvektors kann ich bei einer Fläche bestimmen, welche Seite der Fläche die Vorder- und welche die Rückseite ist.
Lägen nun die Flächen von Würfel A und Würfel B in einer Ebene, so könnte ich bestimmen, ob sich die 'Vorderseiten' (sprich die außen liegende Fläche mit der '1' drauf) gegenüber liegen. Sich quasi anschauen (bildich gesprochen).
Sind die Flächen nun nicht eben, sieht die Sache schon anders aus. Wenn ich einen Punkt der Fläche '1' von Würfel A nehme, kann ich nicht sagen, ob dieser Punkt ebenfalls auf der Fläche '1' von würfel B liegt.
Wie bereits erwähnt, sind die Würfel aus unterschiedlichen Chargen und die Flächen nicht eben.
In diesem Beispiel kann man sicherlich sagen, dass es egal ist, dass die Flächen nicht in einer Ebene liegen. Die Richtung der Normalenvektoren wird im groben übereinstimmen.
Dies ist mir aber nicht exakt genug.
Meine Idee wäre es einen der Eckpunkte für meine Methode zu nehmen, da diese ja bei beiden Flächen identisch sind.
Ob dies allerdings mathematisch logisch ist, entzieht sich mir momentan.
Ich hoffe, dass meine Ausführung ein wenig verständlicher ist.
Mir fällt momentan nicht ein, wie ich es präziser formulieren kann.
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Dein Ausdruck, dass sich zwei Seitenflächen "anschauen" sollen
("face to face"), bringt mich zu einer möglichen Konkretisierung.
A und B seien zwei konvexe undurchsichtige Körper im Raum.
Auf der Oberfläche von jedem der beiden Körper sei je ein Punkt
[mm] P_A [/mm] bzw. [mm] P_B [/mm] (nicht auf einer Kante oder Ecke des Körpers)
mit einem nach aussen zeigenden Normalenvektor [mm] \vec{n}_A
[/mm]
bzw. [mm] \vec{n}_B [/mm] der jeweiligen Körperoberfläche gegeben.
Dann kann man fragen, ob ein (kleiner) Beobachter, der auf dem
Punkt [mm] P_A [/mm] auf der Oberfläche von A steht, den Punkt [mm] P_B [/mm] auf der
Oberfläche von B sehen kann.
Die Bedingungen dafür kann man vektoriell mit Hilfe
von Skalarprodukten beschreiben:
[mm] \overrightarrow{P_A P_B}*\vec{n}_A>0
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_A P_B}*\vec{n}_B<0
[/mm]
[mm] \vec{n}_A*\vec{n}_B<0
[/mm]
Um diese Idee praktisch anzuwenden, müssten die (nach
aussen zeigenden) Normalenvektoren natürlich vorgängig
bestimmt werden. Für einen konvexen Körper liesse sich
dies bewerkstelligen, wenn seine Oberfläche (ev. stückweise)
durch differenzierbare Flächengleichungen beschrieben ist
und ausserdem ein innerer Punkt des Körpers gegeben ist
(um festzulegen, auf welcher Seite der Seitenflächen jeweils
"innen" oder "aussen" ist, also in welche Richtung der Nor-
malenvektor zeigen muss).
LG
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Vielen Dank für die Antwort.
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