Gleichheit zeigen Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Zeigen Sie
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}kx^{k} [/mm] = [mm] \bruch{x}{(1-x)^{2}} [/mm] für x:|x| < 1 |
Guten Tag,
ich habe folgendes hier versucht:
[mm] \bruch{x}{(1-x)^{2}} [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{k} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{k} [/mm] * x
=
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{2k+1}
[/mm]
Hm und ab hier weiß ich leider nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}kx^{k}[/mm] = [mm]\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm] für
> x:|x| < 1
> Guten Tag,
>
> ich habe folgendes hier versucht:
>
> [mm]\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{k}[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{k}[/mm] *
> x
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{2k+1}[/mm]
Das ist doch Quatsch ! Wenn Du meinst es gilt
$ [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}a_n)*( \summe_{n=0}^{\infty}b_n)= \summe_{n=0}^{\infty}a_n*b_n$,
[/mm]
so hast Du Dich gewaltig geschnitten !!!
Tipp: Cauchyprodukt
FRED
>
> Hm und ab hier weiß ich leider nicht weiter. Hat jemand
> einen Tipp für mich?
>
> LG Loriot95
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh verdammt. Das hab ich komplett vergessen. Danke :)
|
|
|
| |
|
Hallo Loriot,
> Zeigen Sie
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}kx^{k}[/mm] = [mm]\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm] für
> x:|x| < 1
> Guten Tag,
>
> ich habe folgendes hier versucht:
>
> [mm]\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{k}[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{k}[/mm] *
> x
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{2k+1}[/mm]
>
> Hm und ab hier weiß ich leider nicht weiter. Hat jemand
> einen Tipp für mich?
Alternativ und ohne Anfälligkeit für Rechenfehler benutze die geometrische Reihe:
Es ist für [mm]|x|<1[/mm] doch [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}[/mm]
Leite beide Seiten ab und multipliziere anschließend mit [mm]x[/mm] ...
>
> LG Loriot95
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
