Gleichheit von Topologien 2 < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $(Y_{n},d_{n})$ [/mm] metrische Räume mit [mm] $d_{n}(x_{n},y_{n}) \le [/mm] 1$ , [mm] $x_{n},y_{n} \in Y_{n}$ [/mm] und sei [mm] T_{n} [/mm] die von [mm] d_{n} [/mm] induzierte Topologie auf [mm] Y_{n}. [/mm] Auf der Menge [mm] $Y:=\produkt_{n \in \mathbb{N}}Y_{n}$ [/mm] haben wir dann die Metrik d :
[mm] $d((x_{n},y_{n}) [/mm] := [mm] max_{n \in \mathbb{N}} \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n})$ [/mm] , wobei [mm] (\alpha_{n} [/mm] > 0 und [mm] \alpha_{n} \to [/mm] 0)
sowie die Topologie T die von der Metrik auf Y iduziert wird, aber auch die Produkttopologie [mm] \Lambda [/mm] der Topologien [mm] T_{n}.
[/mm]
Zeige, dass T = [mm] \Lambda [/mm] |
Hallo,
und noch eine topologische Aufgabe...
Nehmen wir uns eine beliebige offene Menge in T her, also
$O [mm] \in [/mm] T$
[mm] \gdw $\forall [/mm] x = [mm] (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in [/mm] O$ [mm] \Rightarrow $\exists [/mm] a > 0 : x [mm] \in U_{a}(x) \subseteq [/mm] O$
[mm] \gdw $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \exists [/mm] a > 0 : x [mm] \in \produkt_{n=1}^{z} U_{a/\alpha_{n}}(x_{n}) \times \produkt_{n=z+1}^{\infty}x_{n} \subseteq [/mm] O$
was meint ihr bis hier ? ich bin mir gar nicht so sicher , ob man die zweite Äquivalenz einfach so hinschreiben kann.
- man kann das natürlich über [mm] U_{a}(x) [/mm] = [mm] \{y \in Y : d(x,y) < a\} [/mm] und umformen begründen.
aber mal weiter:
[mm] \gdw $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \exists [/mm] a > 0 : x [mm] \in \produkt_{n=1}^{z} U_{a/\alpha_{n}}(x_{n}) \times \produkt_{n=z+1}^{\infty}x_{n} \subseteq [/mm] O$
[mm] \gdw $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \exists O_{n} \in T_{n} [/mm] : x [mm] \in \produkt_{n=1}^{z}O_{n} \times \produkt_{z+1}^{\infty} x_{n} \subseteq [/mm] O$
also
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \exists O_{n'} [/mm] : O = [mm] \bigcup_{x \in O} \produkt_{n=1}^{z}O_{n'} \times \produkt_{z+1}^{\infty} x_{n}$
[/mm]
also T = [mm] \Lambda [/mm]
Lg Peter
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Hallo und danke für deine Antwort,
z meint einfach eine Schranke - besser wäre eventuell [mm] n_{0}
[/mm]
Ja hinten sollten eigentlich Elemente aus [mm] Y_{n} [/mm] stehen.
Nein diese Eigenschaften habe ich nirgends eingearbeitet.
LG
Peter
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> (Eigentlich bin ich schon zu müde zum Antworten. Ich
> hoffe, ich bringe trotzdem noch etwas Sinnvolles
> zustande...  )
>
>
> > z meint einfach eine Schranke - besser wäre eventuell
> > [mm]n_{0}[/mm]
> Eine andere Namensgebung ändert nichts an dem Problem:
>
> Du behauptest
>
> [mm]U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n \le z : \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a \wedge \forall n > z : \alpha_{n}
>
> Meinst du damit, dass ein [mm]z\in\IN[/mm] existiert, für das diese
> Gleichheit gilt?
genau - der senkrechte Strich meint übrigens ein : für das gilt - also:
[mm]U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n \le z : \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a \wedge \forall n > z : \alpha_{n}
der Teil nach dem logischen und : für alle n > z , [mm] alpha_{n} [/mm] < a gilt...
>
> Oder behauptest du
>
> [mm]U_a(x)=\ldots=\{y \in Y :\exists z\in\IN\colon\forall n \le z : \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a \wedge \forall n > z : \alpha_{n}
>
> Oder noch anders?
>
>
> > Ja hinten sollten eigentlich Elemente aus [mm]Y_{n}[/mm] stehen.
> ELEMENTE aus [mm]Y_n[/mm]? Vermutlich [mm]Y_n[/mm] selbst, oder?
[mm] Y_{n} [/mm] selbst - die Menge wird m.E. ja genau durch das kartesische Produkt beschrieben.
>
>
> > Nein diese Eigenschaften habe ich nirgends eingearbeitet.
> Das deutet dann sehr darauf hin, dass deine Überlegungen
> nicht stimmen können.
Wo bräuchte ich die denn? also ich benötige nur, dass die [mm] \alpha_{n} [/mm] gegen 0 gehen.
>
>
> Eine meiner Rückfragen hast du anscheinend übersehen:
Vielen Dank für deine Bemühungen.
Lg Peter
>
> Was meinst du mit dem senkrechten Strich [mm]|[/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mo 27.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > Du behauptest
> >
> > [mm]U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n \le z : \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a \wedge \forall n > z : \alpha_{n}
>
> >
> > Meinst du damit, dass ein [mm]z\in\IN[/mm] existiert, für das diese
> > Gleichheit gilt?
> genau
Dann würdest du es dem Leser leichter machen, wenn du verrietest, wie man ein solches [mm] $z\in\IN$ [/mm] erhält...
> - der senkrechte Strich meint übrigens ein : für
> das gilt - also:
> [mm]U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n \le z : \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a \wedge \forall n > z : \alpha_{n}
>
> der Teil nach dem logischen und : für alle n > z ,
> [mm]alpha_{n}[/mm] < a gilt...
Dann schreibe z.B.
[mm] $U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n \le z : \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a \wedge \forall n > z\text{ mit }\alpha_{n}
Ich komme übrigens auf die deutlich einfachere Darstellung
[mm] $U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n\in\IN\colon \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a\}$.
[/mm]
> > > Nein diese Eigenschaften habe ich nirgends eingearbeitet.
> > Das deutet dann sehr darauf hin, dass deine
> Überlegungen
> > nicht stimmen können.
> Wo bräuchte ich die denn? also ich benötige nur, dass
> die [mm]\alpha_{n}[/mm] gegen 0 gehen.
Dann können deine Überlegungen an mindestens einer Stelle nicht stimmen.
Die Aussage aus der Aufgabenstellung wird ohne die Voraussetzung [mm] $d_n(x_n,y_n)\le [/mm] 1$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $x_n,y_n\in Y_n$ [/mm] im Allgemeinen falsch:
Betrachte z.B.
[mm] $Y_n:=\IR$, $d_n:=\text{die gewöhnliche Metrik auf }\IR$, $\alpha_n:=\frac{1}{n}$.
[/mm]
Dann erfüllt die Menge
[mm] $U:=U_1((0)_{n\in\IN})=\{(x_n)_{n\in\IN}\in\IR^\IN\;|\;d((x_n)_{n\in\IN},(0)_{n\in\IN})<1)\}=\{(x_n)_{n\in\IN}\in\IR^\IN\;|\;\forall n\in\IN\colon \alpha_nd_n(x_n,0)<1\}=\{(x_n)_{n\in\IN}\in\IR^\IN\;|\;\forall n\in\IN\colon \frac{1}{n}|x_n-0|<1\}=\{(x_n)_{n\in\IN}\in\IR^\IN\;|\;\forall n\in\IN\colon |x_n|
die Eigenschaft [mm] $U\in [/mm] T$ (da Mengen der Form [mm] $U_a(x)$ [/mm] in jedem metrischen Raum offen sind), aber nicht [mm] $U\in\Lambda$ [/mm] (überlege dazu: KEINE Menge der Form [mm] $V=\prod_{n=1}^zV_n\times\prod_{n=z+1}^\infty\IR$ [/mm] mit [mm] $z\in\IN$ [/mm] und [mm] $\emptyset\not=V_n\subseteq\IR$ [/mm] erfüllt [mm] $V\subseteq [/mm] U$. Also kann die nichtleere Menge $U$ nicht als Vereinigung von Mengen dieser Form geschrieben werden).
Also [mm] $T\not=\Lambda$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:22 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Und wenn ich das von der Menge
$ [mm] U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n\in\IN\colon \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a\} [/mm] $ zusätzlich fordere - also dass jeweils [mm] d_{n} \le [/mm] 1 ist
Passt dann der Rest?
Lg Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Mo 27.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Und wenn ich das von der Menge
>
> [mm]U_a(x)=\ldots=\{y \in Y : \forall n\in\IN\colon \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n}) < a\}[/mm]
> zusätzlich fordere - also dass jeweils [mm]d_{n} \le[/mm] 1 ist
>
> Passt dann der Rest?
Bitte poste deinen Beweisversuch einmal mit allen Korrekturen (und möglichst vielen Erklärungen) im Zusammenhang.
Ich blicke nämlich leider nicht mehr durch...
(Leider habe ich frühestens Nachmittag wieder Zeit.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 28.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Hallo,
Das Beispiel hat sich geklärt - prinzipiell hat es so gepasst wie ich das gemacht habe - deine Anmerkung, dass [mm] d_{n} \le [/mm] 1 lt. Angabe vorausgesetzt war , musste ich dann auch in die Umgebung einfließen lassen - dann hat eigentlich der Rest gepasst.
Vielen Dank für die Bemühungen
Lg Peter
Ps: Gleich kommt aber noch ein nettes Topologie Beispiel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter_123!
> Seien [mm](Y_{n},d_{n})[/mm] metrische Räume mit [mm]d_{n}(x_{n},y_{n}) \le 1[/mm]
> , [mm]x_{n},y_{n} \in Y_{n}[/mm] und sei [mm]T_{n}[/mm] die von [mm]d_{n}[/mm]
> induzierte Topologie auf [mm]Y_{n}.[/mm] Auf der Menge
> [mm]Y:=\produkt_{n \in \mathbb{N}}Y_{n}[/mm] haben wir dann die
> Metrik d :
> [mm]d((x_{n},y_{n}) := max_{n \in \mathbb{N}} \alpha_{n}d_{n}(x_{n},y_{n})[/mm]
> , wobei [mm](\alpha_{n}[/mm] > 0 und [mm]\alpha_{n} \to[/mm] 0)
> sowie die Topologie T die von der Metrik auf Y iduziert
> wird, aber auch die Produkttopologie [mm]\Lambda[/mm] der Topologien
> [mm]T_{n}.[/mm]
> Zeige, dass T = [mm]\Lambda[/mm]
Hier ist eigentlich erst einmal zu überlegen, dass das Maximum aus der Definition von d überhaupt existiert.
Aber das ist mehr Analysis als Topologie...
EDIT: Außerdem wäre eigentlich noch zu zeigen, dass $d$ überhaupt eine Metrik ist.
Vorweg: Mir erscheint es keine gute Idee zu sein, mit Äquivalenzumformungen zu arbeiten. Jede einzelne der beiden Inklusionen [mm] $T\subseteq\Lambda$ [/mm] und [mm] $\Lambda\subseteq [/mm] T$ erscheint mir für sich genommen komplex genug, so dass man sich es nicht noch komplizierter machen sollte durch den Versuch, mit einer Äquivalenzkette auszukommen.
> Nehmen wir uns eine beliebige offene Menge in T her, also
Du meinst: Wir nehmen uns eine beliebige Teilmenge von [mm] $O\subseteq [/mm] Y$ her.
Dann gelten (so behauptest du zumindest) die Äquivalenzen:
> [mm]O \in T[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\forall x = (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in O[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\exists a > 0 : x \in U_{a}(x) \subseteq O[/mm]
(Lass den Pfeil [mm] $\Rightarrow$ [/mm] hier und in den folgenden Zeilen weg.)
Ja.
Das [mm] $x\in U_a(x)$ [/mm] ist überflüssig, denn das gilt natürlich sowieso für jedes $a>0$.
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\forall x \in O[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\exists a > 0 : x \in \produkt_{n=1}^{z} U_{a/\alpha_{n}}(x_{n}) \times \produkt_{n=z+1}^{\infty}x_{n} \subseteq O[/mm]
Was meinst du mit z?
Was meinst du mit dem Produkt der [mm] $x_n$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] z+1$?
Bedenke, dass die [mm] $x_n$ [/mm] irgendwelche ELEMENTE und (im Allgemeinen) nicht Teilmengen von [mm] $Y_n$ [/mm] sind.
Meinst du vielleicht in diesem rechten Produkt [mm] $Y_n$ [/mm] anstelle von [mm] $x_n$?
[/mm]
> was meint ihr bis hier ? ich bin mir gar nicht so sicher ,
> ob man die zweite Äquivalenz einfach so hinschreiben
> kann.
>
> - man kann das natürlich über [mm]U_{a}(x)[/mm] = [mm]\{y \in Y : d(x,y) < a\}[/mm]
> und umformen begründen.
> aber mal weiter:
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\forall x \in O[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\exists a > 0 : x \in \produkt_{n=1}^{z} U_{a/\alpha_{n}}(x_{n}) \times \produkt_{n=z+1}^{\infty}x_{n} \subseteq O[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\forall x \in O \exists O_{n} \in T_{n} : x \in \produkt_{n=1}^{z}O_{n} \times \produkt_{z+1}^{\infty} x_{n} \subseteq O[/mm]
Wie begründest du die Richtung [mm] "$\Leftarrow$"?
[/mm]
Wie konstruierst du also das gesuchte $a>0$ zu beliebig vorgegebenem [mm] $x\in [/mm] O$?
> also
> [mm]\forall x \in O \exists O_{n'} : O = \bigcup_{x \in O} \produkt_{n=1}^{z}O_{n'} \times \produkt_{z+1}^{\infty} x_{n}[/mm]
Vermutlich meinst du in etwa:
[mm] $\iff$ [/mm] Es existiert eine Familie [mm] $(O_n^x)_{n\in\IN,x\in O}$ [/mm] mit [mm] $O_n^x\in T_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $x\in [/mm] X$ sowie eine Familie [mm] $(z_x)_{x\in O}$ [/mm] natürlicher Zahlen, so dass
[mm] $O=\bigcup_{x\in O}\left(\produkt_{n=1}^{z_x}O_{n}^x \times \produkt_{n=z_x+1}^{\infty} Y_n\right)$.
[/mm]
Diese Eigenschaft wäre - wie man sich überlegen kann - äquivalent zu [mm] $O\in\Lambda$.
[/mm]
> also T = [mm]\Lambda[/mm]
Abgesehen davon, dass ich nicht bei allen Einzelaussagen verstehe, wie sie gemeint sind: Du überlässt für meinen Geschmack sehr viel an Überlegungen dem Leser.
Daher noch mal mein Appell: Weise beide Inklusionen getrennt nach.
(Angesichts der nahenden Prüfung würde ich mich jetzt an deiner Stelle bis dahin aber nicht mehr dieser Aufgabe widmen.)
Viele Grüße
Tobias
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