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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mo 11.05.2009 | | Autor: | kobeb24 |
| Aufgabe | | 2*( [mm] cos(\bruch{nz}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}} [/mm] ) = 1 + [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}} [/mm] |
Hi an alle.
Komme bei einer Aufgabe zu obiger Stelle, wobei ich die linke Seite hab und die rechte zeigen will. Ich bin im moment irgendwie am verzweifeln, bin mir aber irgendwie wieder sicher, dass die Lösung im nachhinein klar ist, komme aber gerade nicht weiter. Ist der letzte Schritt bei nem Beweis, der schon relativ haarig war, darum wäre ich froh um etwas Hilfe.
Danke schonmal.
Grüße,
kobeb24
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Für n = 1 und $z = [mm] \pi$ [/mm] ist obiges falsch !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 11.05.2009 | | Autor: | kobeb24 |
Ok, hatte die Voraussetzungen vergessen.
z [mm] \in \IC [/mm] , z [mm] \not= 2m\pi [/mm] , m [mm] \in \IZ [/mm]
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Hallo!
z = [mm] \pi [/mm] ist aber von [mm] z\not= 2m\pi [/mm] mit [mm] m\in\IZ [/mm] nicht betroffen!
Am besten, du gehst nochmal von der Ausgangsgleichung aus und zeigst deine Schritte.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 11.05.2009 | | Autor: | kobeb24 |
| Aufgabe | 2 * [mm] \summe_{k=0}^{n}\cos(kz) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}}
[/mm]
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Also das ist die eigentliche Aufgabenstellung. Ich bin allerdings erstmal nur von [mm] \summe_{k=0}^{n}\cos(kz) [/mm] ausgegangen.
Als Tipp dazu: Benutze die Eulersche Formel
Also [mm] \summe_{k=0}^{n} e^{ikz} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\cos(kz) [/mm] + i * [mm] \summe_{k=0}^{n}\sin(kz)
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} e^{ikz} [/mm] kann man als geometrische Reihe ansehen mit q := [mm] e^{iz}, [/mm] also:
[mm] \summe_{k=0}^{n} e^{ikz} [/mm] = [mm] \bruch{1-e^{i(n+1)z}}{1-e^{iz}} [/mm] = ... = [mm] e^{\bruch{inz}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}} [/mm] = (cos [mm] (\bruch{nz}{2}) [/mm] + i sin [mm] (\bruch{nz}{2})) [/mm] * [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{n}\cos(kz) [/mm] + i * [mm] \summe_{k=0}^{n}\sin(kz) [/mm] = (cos [mm] (\bruch{nz}{2}) [/mm] + i sin [mm] (\bruch{nz}{2})) [/mm] * [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}} [/mm]
Dort betrachtet man den Realteil und bekommt die Gleichheit:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\cos(kz) [/mm] = cos [mm] (\bruch{nz}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}} (\*)
[/mm]
Jetzt beide Seiten mal 2, also um die Bahauptung oben zu zeigen, kann man auch zeigen:
2 * cos [mm] (\bruch{nz}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}}
[/mm]
Sofern [mm] (\*) [/mm] richtig ist, ist der letzte Schritt ja möglich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> 2 * [mm]\summe_{k=0}^{n}\cos(kz)[/mm] = 1 +
> [mm]\bruch{sin\bruch{(n+1)z}{2}}{sin \bruch{z}{2}}[/mm]
Leider ist die Aussage falsch! Hast Du Dich vielleicht verlesen, denn ich kenne die Gleichung. Sie lautet:
[mm] $2\sum_{k=0}^{n}\cos(kz)=1+\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)z\right)}{\sin\left(\frac{z}{2}\right)}\quad\forall\,n\in\IN\;\forall\,z\in\IC\backslash 2\pi\IZ$
[/mm]
Deine Berechnungen überprüfe ich daher nicht, gebe Dir aber als Tipp, dass Du die Eulersche Formel verwenden musst.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 13.05.2009 | | Autor: | kobeb24 |
Ja, das was ich geschrieben hab ist falsch, aber das liegt nur daran, weil ich hier einen Fehler gemacht hab mit dem Bruch, eine Klammer zu viel oder zu wenig und wenn man viel schreibt, dann kopiert man das was man wieder schreibt, hab dann am Ende nur nochmal flüchtig drüber geguckt. Wir haben aber mittlerweile einen besseren (also kürzeren) Beweis. Danke trotzdem.
Grüße
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