Glatte Mannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Teilmenge
X ={ [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}):x_{1}^4+x_{2}^2*x_{3}^2+x_{4}^4 [/mm] −1 = 0} des [mm] \IR^4
[/mm]
versehen mit der Teilraumtopologie. Ist X eine glatte Mannigfaltigkeit? Beweisen
Sie Ihre Antwort. Wenn X eine Mannigfaltigkeit ist, welche Dimension hat sie? |
Hallo,
kann mir jemand mal skizzieren, wie ich vorgehen soll?
Bin mir irgendwie noch extrem unschlüssig...
Gruß,
Lf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Sa 20.05.2006 | | Autor: | SEcki |
> kann mir jemand mal skizzieren, wie ich vorgehen soll?
> Bin mir irgendwie noch extrem unschlüssig...
Satz vom regulären wert.
SEcki
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Oke, ich habe jetzt versucht, den Satz für reguläre Werte zu benutzen.
Dieser besagt ja, das [mm] f^{-1}(y) [/mm] eine glatte UMF ist, wenn y ein reg.
Wert ist, f glatt.
Nun ist meine Behauptung, daß [mm] f^{-1}(1) [/mm] ein regulärer Wert
ist, also [mm] f_{*}(x) [/mm] surjektiv ist.
Nun betrachte ich die partiellen Ableitungen nach allen Raumrichtungen
[mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] , [mm] x_{4}.
[/mm]
Jetzt bin ich mir allerdings noch nicht ganz sicher, wie ich weitermache.
Ich weiß, daß [mm] \exists [/mm] i mit [mm] x_{i} \not= [/mm] 0.
Betrachte ich nun das totale Differential, also die Summer der part. Ableitungen? Ich will ja zeigen, daß das Diff. ungleich 0 ist und surjektiv.
Wenn ich das gezeigt habe, dann folgt ja aus dem obigen Satz, daß meine Menge X eine glatte UMF ist.
Gruß und Dank,
Lf
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Hallo,
das differential deiner abbildung in einem bestimmten punkt ist ja eine lineare abbildung vom [mm] $\IR^4$ [/mm] in den [mm] $\IR$. [/mm] Damit so eine abbildung surjektiv ist, muss sie lediglich ungleich der 0-abbildung sein. du musst also prüfen, dass der gradient der abbildung f in allen punkten des urbilds [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] nicht verschwindet.
Dann bist du fertig!
VG
Matthias
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