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| Aufgabe | Bestimmen Sie mittels Separation der Variablen säamliche Lösungen der folgenden Anfangswertaufgaben:
a) y' = [mm] xe^{x} [/mm] mit y(0) = -1
b) y' = [mm] -\bruch{(x+1)y}{x} [/mm] mit y(1) = 1 |
Hallo zusammen,
Aufgabe a) habe ich allein lösen können und möchte ein Feedback zu meinem Ergebnis.
Ansatz: f(0) = ax + [mm] be^{x}
[/mm]
-1 = a*0 + [mm] be^{0}
[/mm]
-1 = b*1
b = -1
f'(0) = [mm] a+be^{x}
[/mm]
-1 = a + [mm] (-1)e^{0}
[/mm]
-1 = a - 1
a = 0
Eine Lösung für y' ist also y = [mm] -e^{x}
[/mm]
Nun zur b)
Ich habe mir überlegt, wie ich die Variablen separiert werden können. Hierfür habe ich g(y) = - y und h(x) = [mm] \bruch{x+1}{x} [/mm] gewählt.
Leider fehlt mir jetzt der Ansatz um weiter zu machen. Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben?
Gruß
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 So 23.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Die erste Aufgabe ist aber keine klassische Differentialgleichung. Diese kannst Du durch schlichte Integration lösen. Dabei kommt hier das Verfahren der partiellen Integration zur Ausführung.
Deine Lösung stimmt nicht, mache doch mal die Probe und leite ab.
Bei der 2. Aufgabe sollst dur die "Variablen trennen"; d.h. alle $y_$ auf die linke Seite und alle $x_$ auf die rechte Seite. Anschließend dann auf beiden Seiten integrieren:
$$y' \ = \ [mm] -\bruch{(x+1)*y}{x}$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{(x+1)*y}{x} [/mm] \ = \ [mm] -y*\bruch{x+1}{x} [/mm] \ = \ [mm] -y*\left(1+\bruch{1}{x}\right)$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] -\left(1+\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ dx$$
[mm] $$\blue{\integral}\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] -\blue{\integral}\left(1+\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ dx$$
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\left[x+\ln(x)\right] [/mm] + [mm] c_1 [/mm] \ = \ [mm] -\left[x+ln(x)+\ln(c_2)\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 So 23.09.2007 | | Autor: | MartinS83 |
Hallo Loddar,
danke für deine schnelle Antwort! Ich schaue mir das Thema also besser noch einmal gründlich an.
Gruß
Martin
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 So 23.09.2007 | | Autor: | alexmart |
Hallo Loddar,
ich habe genau dasselbe Problem mit dem Lösen von Differentialgleichungen.
ICh bin auch auf dein Ergebnis gekommen:
ln(y) = -(x+ln(x)) + C
So die Aufgabe war ja jetzt eine Anfangswertaufgabe. Wir suchen ja eine Gleichung in der Form y = ... , welche die Anfangsbedingung erfüllt.
Deswegen habe ich obige Gleichung umgeformt:
y = [mm] \bruch{1}{e^{x}} \bruch{1}{x} e^{C}
[/mm]
Habe dann auf Grund der Anfangswertbedingung x =1 und y = 1 eingesetzt und nach C aufgelöst.
Dann habe ich das gefundene C = 1 oben eingesetzt und als Lösung erhalten:
y = [mm] \bruch{1}{e^{x}} \bruch{1}{x} e^{1}
[/mm]
Wäre das als endgültige Lösung der Aufgabe richtig?
Bei Anfangswertproblemen ist es da immer so, dass man bei der Aufleitung eine konstante reinbekommen muss, um diese Konstante dann entsprechend des Anfangswertes passend zu wählen?
MFG
Alexander
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Hallo Alex und Loddar,
leider stehe ich bei dieser Aufgabe grade ziemlich auf dem Schlauch.
Ich verstehe die Umformungen nicht und was Alex am Ende seines Posts mit der Konstante geschrieben hat.
Am besten fange ich ganz oben an.
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\bruch{(x+1)\cdot{}y}{x} [/mm] = [mm] -y\cdot{}\bruch{x+1}{x} [/mm] = [mm] -y\cdot{}\left(1+\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
Was bedeutet [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] ? Oder ist das in diesem Fall nur eine andere Schreibweise von y' ?
[mm] \blue{\integral}\bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] -\blue{\integral}\left(1+\bruch{1}{x}\right) [/mm]
Wird hier auf der linken Seite nach y integriert und auf der rechten nach x? Wenn ja, verstehe ich nicht, wieso ln(y) eine Stammfunktion von [mm] \bruch{dy}{y} [/mm] ist.
Nun weiter zu Alex-Post:
y = [mm] \bruch{1}{e^{x}} \bruch{1}{x} e^{C}
[/mm]
Wie kommt man auf diese Umformung? Um das ln(y) "wegzubekommen" wende ich die Exponentialfunktion an. Nur wie komme ich dann auf der rechten Seite der Gleichung auf [mm] \bruch{1}{e^{x}} \bruch{1}{x} e^{C} [/mm] ?
Noch eine weitere Frage:
Bei Anfangswertproblemen ist es da immer so, dass man bei der Aufleitung eine konstante reinbekommen muss, um diese Konstante dann entsprechend des Anfangswertes passend zu wählen?
Was ist damit gemeint? Mit der Konstante ist doch hier das C gemeint. Aber diese Konstante wird doch nicht gewählt, man muss sie berechnen.
Ich bitte um eure Hilfe,
Gruß
Martin
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Hallo,
> Hallo Alex und Loddar,
>
> leider stehe ich bei dieser Aufgabe grade ziemlich auf dem
> Schlauch.
>
> Ich verstehe die Umformungen nicht und was Alex am Ende
> seines Posts mit der Konstante geschrieben hat.
>
> Am besten fange ich ganz oben an.
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{(x+1)\cdot{}y}{x}[/mm] =
> [mm]-y\cdot{}\bruch{x+1}{x}[/mm] =
> [mm]-y\cdot{}\left(1+\bruch{1}{x}\right)[/mm]
>
> Was bedeutet [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] ? Oder ist das in diesem Fall
> nur eine andere Schreibweise von y' ?
RICHTIG!
>
> [mm]\blue{\integral}\bruch{dy}{y}[/mm] =
> [mm]-\blue{\integral}\left(1+\bruch{1}{x}\right)[/mm]
>
> Wird hier auf der linken Seite nach y integriert und auf
> der rechten nach x?
JA!
> Wenn ja, verstehe ich nicht, wieso
> ln(y) eine Stammfunktion von [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] ist.
Zu [mm] \bruch{1}{y} [/mm] ist ln(y) eine Stammfunktion.
>
> Nun weiter zu Alex-Post:
>
> y = [mm]\bruch{1}{e^{x}} \bruch{1}{x} e^{C}[/mm]
>
> Wie kommt man auf diese Umformung? Um das ln(y)
> "wegzubekommen" wende ich die Exponentialfunktion an. Nur
> wie komme ich dann auf der rechten Seite der Gleichung auf
> [mm]\bruch{1}{e^{x}} \bruch{1}{x} e^{C}[/mm] ?
Tip: Logarithmen- und Potenzgesetze.
>
> Noch eine weitere Frage:
>
> Bei Anfangswertproblemen ist es da immer so, dass man bei
> der Aufleitung eine konstante reinbekommen muss, um diese
> Konstante dann entsprechend des Anfangswertes passend zu
> wählen?
>
> Was ist damit gemeint? Mit der Konstante ist doch hier das
> C gemeint. Aber diese Konstante wird doch nicht gewählt,
> man muss sie berechnen.
>
Ja hast Recht. Man muss sie berechnen mit Hilfe der vorgegebenen Anfangswerte.
> Ich bitte um eure Hilfe,
>
> Gruß
> Martin
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