Geschlossener Ausdruck < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 28.08.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f:(-\rho,\rho) \to \IR: x\mapsto \summe_{k=1}^{\infty}\frac{2^kx^k}{k} [/mm] .
[mm] g:(-\rho,\rho) \to \IR: x\mapsto \summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Ableitung f' bzw. g' an. |
Funktion f:
Zunächst ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{2^kx^k}{k}=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{2x^k}{k}
[/mm]
Abgeleitet: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{2k*2x^{k-1}}{k}=\summe_{m=0}^{\infty}2*2x^m
[/mm]
Dafür finde ich aber keinen geschlossenen Ausdruck, genauso für g'. Habe ich falsch abgeleitet?
Besten Dank für eure Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Do 28.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die Funktionen [mm]f:(-\rho,\rho) \to \IR: x\mapsto \summe_{k=1}^{\infty}\frac{2^kx^k}{k}[/mm]
> .
> [mm]g:(-\rho,\rho) \to \IR: x\mapsto \summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
>
> Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für die Ableitung f'
> bzw. g' an.
> Funktion f:
>
> Zunächst ist
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{2^kx^k}{k}=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{2x^k}{k}[/mm]
Diese Schreibweise ist irreführend, du müsstest 2x in Klammern schreiben.
Lass es ruhig, wie es war [mm] 2^k [/mm] ist ein konstanter Faktor, [mm] x^k [/mm] ergibt abgeleitet [mm] k*x^{k-1}.
[/mm]
Die Ableitung ist dann
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{2^k*k*x^{k-1}}{k}=\summe_{m=1}^{\infty}2*(2x)^{k-1}[/mm]
> Abgeleitet:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{2k*2x^{k-1}}{k}=\summe_{m=0}^{\infty}2*2x^m[/mm]
Abgesehen von der fehlenden Klammer um 2x stimmt dein Endergebnis mit der Indexverschiebung.
>
> Dafür finde ich aber keinen geschlossenen Ausdruck, genauso
> für g'. Habe ich falsch abgeleitet?
>
Die Summe kannst du mit der Summenformel für geometrische Reihen ausdrücken (mit q=2k).
Zu g': beim Ableiten entsteht unter anderem der Teilausdruck [mm] (2x)^{2k}. [/mm] Den kannst du auch als [mm] (4x^2)^k [/mm] schreiben.
Gruß Abakus
> Besten Dank für eure Antworten!
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