Geschlossene Ausdrücke für Pot < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben:
f : [mm] (-\alpha, \alpha)\to \IR [/mm] : x [mm] \to \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^k x ^k}{k}
[/mm]
[mm] \alpha= \bruch{1}{3} [/mm] (Konvergenzradius)
Gesucht ist ein geschlossener Ausdruck für f'(x). |
Guten Tag zusammen,
ich bin auf der Suche nach einem geschlossenen Ausdruck für o.g. Reihe.
Ich habe gestern stundenlang das Internet durchforscht, bin aber nicht weiter gekommen als meine Grundidee, die da lautet, dass die Differentiation "reingezogen" werden kann, da die Reihe im Intervall konvergiert und ich dann versuchen will die allgemeinen geschlossenen Ausdrücke der Potenzreihen so umzubauen, dass ich einen geschlossenen Ausdruck bekomme. Das Problem ist, dass mir das Vorgehen als Ganzes nicht klar ist, auch in der FAQ hab ich hierzu nichts gefunden.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, was ich in welcher Reihenfolge machen soll.
Vielen Dank und ein schönes Wochenende wünscht
der Frühstücker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Mathematica:
In[3]:= [mm] \text{Sum}[(-3)^k*(x^k)/k, \{k, 1, Infinity\}]
[/mm]
Out[3]= [mm] -\text{Log}[1 [/mm] + 3 x]
edit: Wie kann man darauf kommen? Man leitet die Potenzreihe ab und erhält die geometrische Reihe.
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Ist es jemanden möglich von Hand die zwei, drei Schritte ausgeshcrieben anzugeben?
Wenn ich das ableite steht hinter der Summe [mm] (-3)^k*x^{k-1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo frühstücker!
Um eine derartige Reihe abzuleiten, solltest Du Dir die ersten Glieder aufschreiben und summandenweise ableiten.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Genau. Jetzt ziehe eine (-3) raus und verwende die Formel für die geometrische Reihe (achte dabei auf die Indizes - auch schon beim Ableiten). Dann haste die Formel für die Ableitung (das was du wolltest). Wenn du den geschlossenen Ausdruck für die ursprüngliche Reihe haben willst, dann integriere einfach noch.
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