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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} e^{-l} \bruch{l^k}{k!} \bruch{1}{k+1} [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} e^{-l} \bruch{l^k}{(k+1)!} [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} e^{-l} \bruch{l^{k+1}}{(k+1)!} \bruch{1}{l} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{l} \summe_{k=0}^{\infty} e^{-l} \bruch{l^{k+1}}{(k+1)!} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{l} [/mm] ( [mm] \summe_{k=1}^{\infty} e^{-l} \bruch{l^{k}}{(k)!} [/mm] ) =
[mm] \bruch{1}{l} [/mm] ( ( [mm] \summe_{k=0}^{\infty} e^{-l} \bruch{l^{k}}{(k)!} [/mm] ) - [mm] e^{-l} [/mm] ) =
[mm] \bruch{1}{l} [/mm] ( 1 - [mm] e^{-l} [/mm] ) = [mm] \bruch{1 - e^{-l}}{l}
[/mm]
ok das ist ja eigentlich kein problem aber jetzt aufgabe b)
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} e^{-l} \bruch{l^k}{k!} \bruch{k}{k+1}
[/mm]
das Ergebnis kenn ich aber wie kommt man da hin, ich schaff es einfach nicht:
1 - [mm] \bruch{1 - e^{-l}}{l} [/mm] = 1 - ( Ergebnis von a) )
selbst wenn ich versuche a) irgendwie zu benutzen komme ich nicht bei dem Ergebnis an, vielen dank für anregungen.
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Hallo vivo,
ich hab's mit einigen Indexverschiebungen herausbekommen, vllt. geht's einfacher (und schneller  ):
[mm] $\sum\limts_{k=0}^{\infty}e^{-l}\cdot{}\frac{l^k}{k!}\cdot{}\frac{k}{k+1}=e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^k}{(k+1)!}\cdot{}k$
[/mm]
[mm] $=e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{l^k}{(k+1)!}\cdot{}k$ [/mm] da für k=0 der Summand 0 ist
erste Indexverschiebung:
[mm] $=e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k+1}}{(k+2)!}\cdot{}(k+1)$
[/mm]
[mm] $=e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k+1}}{(k+2)!}\cdot{}(k+2-1)$
[/mm]
[mm] $=e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{l^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{l^{k+1}}{(k+2)!}\right)$
[/mm]
[mm] $=e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k+1}}{(k+1)!} [/mm] \ - \ [mm] e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k+1}}{(k+2)!}$
[/mm]
Das geht, weil die beiden Teilreihen absolut konvergent sind, wie sich am Ende zeigt (Reihen der e-Funktion)
Nun die 2. Indexverschiebung
[mm] $=e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{l^{k}}{k!} [/mm] \ - \ [mm] e^{-l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k+2}}{(k+2)!}\cdot{}\frac{1}{l}$
[/mm]
[mm] $=e^{-l}\cdot{}\left[\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k}}{k!} \ - \ 1\right] [/mm] \ - \ [mm] \frac{e^{-l}}{l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{l^{k+2}}{(k+2)!}$
[/mm]
Erste Summe zusammenfassen und bei der 2.Summe wieder ne Indexverschiebung
[mm] $=e^{-l}\cdot{}e^l [/mm] \ - \ [mm] e^{-l} [/mm] \ - \ [mm] \frac{e^{-l}}{l}\cdot{}\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{l^k}{k!}$
[/mm]
[mm] $=e^{-l}\cdot{}e^l [/mm] \ - \ [mm] e^{-l} [/mm] \ - \ [mm] \frac{e^{-l}}{l}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{l^k}{k!} \ - \ (1+l)\right)$
[/mm]
$=1 \ - \ [mm] e^{-l} [/mm] \ - \ [mm] \frac{e^{-l}}{l}\cdot{}e^l [/mm] \ + \ [mm] \frac{e^{-l}}{l}\cdot{}(1+l)$
[/mm]
Das nun nur noch zusammenfassen, dann steht das Ergebnis da
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vivo |
vielen dank ...
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