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| Aufgabe | Sei [mm] A \in \IR^{nxn}, \lambda \in \IC [/mm] ein Eigenwert von A, dann gilt:
[mm] \lambda \in \bigcup_{i=1}^{n} K_i, K_i= \{ z \in \IC : |z-a_{ii}| \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} |a_{ij}| \}. [/mm]
Die Mengen [mm] K_i [/mm] heißen Gerschgorin-Kreise. |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu dem Beweis des Satzes. Dieser steht auch im Buch:
Es gelte [mm] Ax= \lambda x [/mm] für ein [mm] x \in \IC^n [/mm] ohne [mm] \{0 \} [/mm]. Dann existiert ein i mit [mm] |x_j| \le |x_i| \forall j=1,..,n, x_i \not = 0. [/mm]
Es gilt [mm] \lambda x_i = (Ax)_i = \summe_{j=1}^{n} a_{ij}x_j [/mm] und nach Division durch [mm] x_i \not= 0: \lambda - a_{ii} = \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \bruch{x_j}{x_i}. [/mm]
Die Dreiecksungleichung und [mm] \bruch{|x_j|}{|x_i|} \le 1 [/mm] implizieren [mm] \lambda \in K_i [/mm] und damit die Behauptung.
Mein Problem liegt in der letzten Zeile: Ich sehe, dass man folgendes sagen kann:
[mm] \lambda - a_{ii} = \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \bruch{x_j}{x_i} \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} [/mm], und hier fließt ein, dass [mm] \bruch{|x_j|}{|x_i|} \le [/mm] 1.
Weiter: [mm] \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} |a_{ij}| [/mm] wegen Definition des Betrags. Nun hat man schon fast das Gewünschte dastehen, aber noch steht " [mm] \lambda [/mm] - [mm] a_{ii} [/mm] " nicht im Betrag. Hier müsste vermutlich die Dreiecksungleichung einfließen, oder? Aber wie? Ich habe an die "umgrehte Dreiecks-UG" gedacht, aber noch keine Möglichkeit gefunden, sie hier anzuwenden.
Kann mir jemand einen Tipp geben? Das wäre lieb!
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 05.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A \in \IR^{nxn}, \lambda \in \IC[/mm] ein Eigenwert von A,
> dann gilt:
> [mm]\lambda \in \bigcup_{i=1}^{n} K_i, K_i= \{ z \in \IC : |z-a_{ii}| \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} |a_{ij}| \}.[/mm]
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> Die Mengen [mm]K_i[/mm] heißen Gerschgorin-Kreise.
> Hallo!
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> Ich habe eine Frage zu dem Beweis des Satzes. Dieser steht
> auch im Buch:
>
> Es gelte [mm]Ax= \lambda x[/mm] für ein [mm]x \in \IC^n[/mm] ohne [mm]\{0 \} [/mm].
> Dann existiert ein i mit [mm]|x_j| \le |x_i| \forall j=1,..,n, x_i \not = 0.[/mm]
> Es gilt [mm]\lambda x_i = (Ax)_i = \summe_{j=1}^{n} a_{ij}x_j[/mm]
> und nach Division durch [mm]x_i \not= 0: \lambda - a_{ii} = \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \bruch{x_j}{x_i}.[/mm]
> Die Dreiecksungleichung und [mm]\bruch{|x_j|}{|x_i|} \le 1[/mm]
> implizieren [mm]\lambda \in K_i[/mm] und damit die Behauptung.
>
> Mein Problem liegt in der letzten Zeile: Ich sehe, dass man
> folgendes sagen kann:
> [mm]\lambda - a_{ii} = \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \bruch{x_j}{x_i} \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} [/mm],
Nein. Das kannst Du nicht sagen ! Es ist [mm] \lambda \in \IC [/mm] und die [mm] x_i [/mm] sind ebenfalls komplex. Somit ist obige Ungleichung völlig sinnlos !
Aus
[mm] $\lambda [/mm] - [mm] a_{ii} [/mm] = [mm] \summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \bruch{x_j}{x_i}$
[/mm]
folgt zunächst
[mm] $|\lambda [/mm] - [mm] a_{ii}| [/mm] = [mm] |\summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \bruch{x_j}{x_i} [/mm] |.$
Und daraus mit der Dreiecksungleichung
[mm] $|\lambda [/mm] - [mm] a_{ii}| \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} |a_{ij}| \bruch{|x_j|}{|x_i|}.$
[/mm]
Wegen $ [mm] \bruch{|x_j|}{|x_i|} \le [/mm] 1$ folgt
[mm] $|\lambda [/mm] - [mm] a_{ii}| \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} |a_{ij}|.$
[/mm]
Somit $ [mm] \lambda \in K_i [/mm] $
FRED
> und hier fließt ein, dass [mm]\bruch{|x_j|}{|x_i|} \le[/mm] 1.
> Weiter: [mm]\summe_{j=1,...,n, i \not= j} a_{ij} \le \summe_{j=1,...,n, i \not= j} |a_{ij}|[/mm]
> wegen Definition des Betrags. Nun hat man schon fast das
> Gewünschte dastehen, aber noch steht " [mm]\lambda[/mm] - [mm]a_{ii}[/mm] "
> nicht im Betrag. Hier müsste vermutlich die
> Dreiecksungleichung einfließen, oder? Aber wie? Ich habe
> an die "umgrehte Dreiecks-UG" gedacht, aber noch keine
> Möglichkeit gefunden, sie hier anzuwenden.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben? Das wäre lieb!
>
> Liebe Grüße,
> Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Mi 06.07.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso! Ohje, das hab ich vollständig übersehen. Vielen Dank!
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