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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Geradenscharen [mm] g_{a}:\vec{x}=\vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}+r*\vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] und [mm] h_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ a \\ 1}+s*\vektor{-2 \\ a+1 \\ 1}.
[/mm]
a) Beschreiben Sie die Lage der Geraden der Schar [mm] g_{a}.
[/mm]
b) Für welche Werte von a sind die Geraden [mm] g_{a} [/mm] und [mm] h_{a} [/mm] parallel?Sind die Geraden dann auch identisch?
c) Für welche Werte von a schneiden sich die Geraden [mm] g_{a} [/mm] und [mm] h_{a}?Berechnen [/mm] Sie ggf. den Schnittpunkt.
d) Für welche Werte von a sind die Geraden [mm] g_{a} [/mm] und [mm] h_{a} [/mm] windschief? |
Hallo zusammen^^
Ich hab mal diese Aufgabe gerechnet,komme jedoch an einigen Stellen nicht mehr weiter.Kann da vielleicht mal jemand drüber schaun?
a) Hier kann ich doch schreiben: [mm] \vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0}+a^{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.Das [/mm] heißt,dass alle Geraden durch den Punkt [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0} [/mm] gehen.Reicht das schon oder hab ich was wichtiges vergessen?
b) [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1}=r*\vektor{-2 \\ a+1 \\ 1}
[/mm]
Dann kommt raus a=-2
Dann muss ich noch überprüfen,ob die beiden identisch sind,also
[mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 0}=\vektor{2 \\ -1 \\ 1}+r*\vektor{-2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Dann hab ich folgendes Gleichungssytem:
1.) 4=2-2r
2.) -1=-2-r
3.) 0=1+r
Das System ist lösbar,d.h. die Geraden sind identisch.
c) Hier muss ich die beiden zuerst gleichsetzen:
[mm] \vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}+r*\vektor{2 \\ 1 \\ -1}=\vektor{2 \\ a \\ 1}+s*\vektor{-2 \\ a+1 \\ 1}
[/mm]
Daraus ergitb sich folgendes Gleichungssystem:
1.) [mm] a^{2}+2r=2-2s
[/mm]
2.) -a+r=a+sa+a
3.) 0-r=1+s
Ich komme aber bei diesem System nicht mehr weiter.
Ich hab so angefangen:
2.) Gleichung nach r aufgelöst: r=3a+sa
und dieses r in die 1.) eingesetzt:
[mm] a^{2}+6a+8s-2=0 [/mm] kommt dann raus.
Das hab ich versucht mit der pq-Formel zu lösen:
Dann hab ich [mm] a=-3\pm\wurzel{11-8s}
[/mm]
Muss ich jetzt eine Fallunterscheidung für s machen oder wie geh ich hier vor?
Und die d) kann ich ja noch nicht lösen,weil ich dazu zuerst die c) machen muss.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen Dank
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe =)
Ich hab aber noch einige Fragen.
> > a) Hier kann ich doch schreiben: [mm]\vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0}+a^{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.Das[/mm]
> > heißt,dass alle Geraden durch den Punkt [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> > gehen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Dies trifft nicht zu !
> Nur [mm]g_0[/mm] geht durch diesen Punkt. [mm]g_a[/mm] (für beliebiges a)
> geht durch [mm]Q_a(a^2/-1/0).[/mm]
Ok,das ist klar.
> Alle diese Punkte [mm]Q_a[/mm] liegen
> auf einer Geraden p parallel zur x-Achse durch
> [mm]Q_0(0/-1/0).[/mm]
Das versteh ich noch nicht.Woher weißt du denn dass alle Punkte [mm] Q_{a} [/mm] auf einer Geraden p parallel zur x-Achse durch [mm] Q_{0}(0/-1/0) [/mm] liegen?Wie bist du drauf gekommen,ich kanns irgendwie noch nicht nachvollziehen?
> > Reicht das schon oder hab ich was wichtiges
> > vergessen?
>
> Alle Geraden [mm]g_a[/mm] sind zueinander parallel !
Ok,das ist auch nachvollziehbar.
> Mit dem
> vorherigen Ergebnis zusammen bedeutet dies: Die
> Schar ist eine Parallelenschar, die in einer Ebene
> liegt (allerdings füllt sie diese Ebene nicht aus !)
Aber das versteh ich wieder nicht.Woher weißt du denn,dass die Schar die Ebene nicht ausfüllt?
> > c) Hier muss ich die beiden zuerst gleichsetzen:
> >
> > [mm]\vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}+r*\vektor{2 \\ 1 \\ -1}=\vektor{2 \\ a \\ 1}+s*\vektor{-2 \\ a+1 \\ 1}[/mm]
>
> >
> > Daraus ergitb sich folgendes Gleichungssystem:
> >
> > 1.) [mm]a^{2}+2r=2-2s[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > 2.) -a+r=a+sa+a (zwei Fehler !)
> > 3.) 0-r=1+s
> >
> > Ich komme aber bei diesem System nicht mehr weiter.
>
> Jetzt musst du zuerst die zweite Gleichung korrigieren.
>
> Der Fall mit a=-2 ist natürlich unter (b) schon erledigt,
> denn dann ist [mm]g_a=h_a,[/mm] es gibt also unendlich viele
> gemeinsame Punkte. Für allfällige weitere Lösungen
> kannst du also [mm]a\not=[/mm] -2 voraussetzen (und z.B. mit
> (a+2) kürzen !).
> Es gibt genau einen weiteren Fall, wo sich [mm]g_a[/mm] und [mm]h_a[/mm]
> schneiden (diesmal nur in einem Punkt).
Ups,da war ich wohl bischen schludrig.Ich habs nochmal gemacht und bekomme raus,dass sich die Geraden für a=2 schneiden.Ist das so in Ordnung?
> (d) lässt sich dann mittels der schon vorhandenen
> Erkenntnisse beantworten.
Hier könnte man jetzt einfach sagen,dass die Geraden für [mm] a\not=\pm2 [/mm] windschief sind.Wäre das so ok?
lg
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> > > a) Hier kann ich doch schreiben: [mm]\vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0}+a^{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.Das[/mm]
> > Alle diese Punkte [mm]Q_a[/mm] liegen
> > auf einer Geraden p parallel zur x-Achse durch
> > [mm]Q_0(0/-1/0).[/mm]
>
> Das versteh ich noch nicht.Woher weißt du denn dass alle
> Punkte [mm]Q_{a}[/mm] auf einer Geraden p parallel zur x-Achse durch
> [mm]Q_{0}(0/-1/0)[/mm] liegen?Wie bist du drauf gekommen,ich kanns
> irgendwie noch nicht nachvollziehen?
Hallo,
die Punkte [mm] Q_a [/mm] haben die Koordinaten [mm] Q_a(a^2 [/mm] | -1 | 0).
Hieran siehst Du schonmal, daß sie in der xy-Ebene liegen, was den Vorteil hat, daß Du Dir die Sache gut aufmalen kannst.
Mach' das mal, z.B. für a=-50, -3, -2, -0.5, 0, 0.5, -2, -3 , 50.
Natürlich bekommst du das auch rechnersich, nämlich genau durch Deine zuerst gemachte Umformung
[mm][mm] \vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0}+a^{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Ersetze Dir im Geiste das [mm] a^2 [/mm] durch t, dann wirst Du eine Geradengleichung ohne weiteres erkennen.
> > Alle Geraden [mm]g_a[/mm] sind zueinander parallel !
> Ok,das ist auch nachvollziehbar.
> > Mit dem
> > vorherigen Ergebnis zusammen bedeutet dies: Die
> > Schar ist eine Parallelenschar,
Du solltest nun die Gerade aufgezeichnet haben. Nimm Dir nun 1000 Schaschlikspieße (oder stell sie Dir vor) und spieße sie so auf die Gerade, daß die Speiße alle in dieselbe Richtung weisen. Das ist Deine Geradenschar, und wenn die Spieße schon dicht stecken, siehst Du, daß sie die Ebene ausfüllen --- würden.
> > die in einer Ebene
> > liegt (allerdings füllt sie diese Ebene nicht aus !)
>
> Aber das versteh ich wieder nicht.Woher weißt du denn,dass
> die Schar die Ebene nicht ausfüllt?
Schau Dir nun nochmal die Gerade [mm][mm] \vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0}+a^{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] an.
Ich hatte gesagt: ersetze [mm] a^2 [/mm] durch t, dann siehst Du, daß es eine Gerade ist. das war aber nur die halbe Wahrheit, denn [mm] a^2 [/mm] ist niemals negativ.
Du hast also das Gebilde
[mm] \vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] nur für [mm] t\ge [/mm] 0 zu betrachten. Was erhältst Du da?
> > Es gibt genau einen weiteren Fall, wo sich [mm]g_a[/mm] und [mm]h_a[/mm]
> > schneiden (diesmal nur in einem Punkt).
>
> Ups,da war ich wohl bischen schludrig.Ich habs nochmal
> gemacht und bekomme raus,dass sich die Geraden für a=2
> schneiden.Ist das so in Ordnung?
Ich hab' das auch.
>
> > (d) lässt sich dann mittels der schon vorhandenen
> > Erkenntnisse beantworten.
>
> Hier könnte man jetzt einfach sagen,dass die Geraden für
> [mm]a\not=\pm2[/mm] windschief sind.Wäre das so ok?
Ja. Was für -2 ist, würde ich ausdrücklich erwähnen.
Gruß v. Angela
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen vielen Dank Angela.Du hast es echt gut erklärt.Ich habs jetzt verstanden.
>Schau Dir nun nochmal die Gerade [mm][mm]\vektor{a^{2} \\ -1 \\ >0}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0}+a^{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] an.
>
> Ich hatte gesagt: [mm] ersetzea^2 [/mm] durch t, dann siehst >Du, daß es eine >Gerade ist. das war aber nur die halbe Wahrheit, denn [mm] a^2 [/mm] ist niemals >negativ.
> Du hast also das Gebilde
>
> [mm] \vektor{a^{2} \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1 \\ >0}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] nur [mm] fürt\ge [/mm] 0 zu betrachten. >Was erhältst Du da?
Nur hier versteh nicht,was du meinst mit was erhälst du da?
lg
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Hallo Mandy,
wenn Du so eine Parametergleichung hast, die aussieht wie eine Geradengleichung, aber der Parameterbereich beschränkt ist, dann muss ja irgend etwas anders sein als sonst. Normalerweise würde man [mm] t\in\IR [/mm] annehmen.
Hier gilt nun [mm] t\in\IR^+, [/mm] es ist also [mm] t\ge0.
[/mm]
Wenn Du von der Anschauung ausgehst, dann startest Du also beim Aufpunkt und kannst nur in die eine Richtung (nämlich des Richtungsvektors) loslaufen. Dafür aber beliebig weit.
Das ist ja nur die eine Hälfte einer Gerade. Es gibt zwei Namen dafür - kennst Du einen davon?
Grüße
reverend
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