Geradenbündel Verklebeabbildun < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 17.06.2013 | | Autor: | flipflop |
| Aufgabe | Sei X eine Varietät und [mm] \left\{ U_i \right\} [/mm] eine offene Überdeckung von X. Weiter seien für alle i, j [mm] \in [/mm] I Elemente [mm] g_{ij} \in \mathcal{O}_X (U_i \cap U_j)^{\*} [/mm] gegeben, die stets [mm] g_{ij}g_{jk}=g_{ik} [/mm] erfüllen.
Ziel: Verkleben dieser Daten zu einem Geradenbündel, d.h. [mm] \sqcup (U_i \times \IC) [/mm] / ~ |
Ich beschäftige mich im Moment mit Geradenbündeln. Verklebt man die Daten aus der Aufgabenstellung genannt, so stellt sich mir die Frage, entlang welcher Abbildungen konkret verklebt wird. D.h.:
Sei (x,t) [mm] \in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_i \times \IC. [/mm] Identifiziert man (x,t) mit (x, [mm] g_{ij}(x)t) [/mm] oder mit (x, [mm] g_{ji}(x)t) \in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_j \times \IC?
[/mm]
In Büchern habe ich leider beide Varianten gefunden, mir ist aber nicht klar, was der Unterschied ist bzw. ob beide Varianten richtig sind.
Es wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Fr 21.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei X eine Varietät und [mm]\left\{ U_i \right\}[/mm] eine offene
> Überdeckung von X. Weiter seien für alle i, j [mm]\in[/mm] I
> Elemente [mm]g_{ij} \in \mathcal{O}_X (U_i \cap U_j)^{\*}[/mm]
> gegeben, die stets [mm]g_{ij}g_{jk}=g_{ik}[/mm] erfüllen.
Wenn du $i = j = k$ waehlst, folgt daraus, dass [mm] $g_{ii} [/mm] = 1$ ist, und mit $i = k$ folgt dann [mm] $g_{ij}^{-1} [/mm] = [mm] g_{ji}$.
[/mm]
> Ziel: Verkleben dieser Daten zu einem Geradenbündel, d.h.
> [mm]\sqcup (U_i \times \IC)[/mm] / ~
>
> Ich beschäftige mich im Moment mit Geradenbündeln.
> Verklebt man die Daten aus der Aufgabenstellung genannt, so
> stellt sich mir die Frage, entlang welcher Abbildungen
> konkret verklebt wird. D.h.:
> Sei (x,t) [mm]\in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_i \times \IC.[/mm]
> Identifiziert man (x,t) mit (x, [mm]g_{ij}(x)t)[/mm] oder mit (x,
> [mm]g_{ji}(x)t) \in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_j \times \IC?[/mm]
>
> In Büchern habe ich leider beide Varianten gefunden, mir
> ist aber nicht klar, was der Unterschied ist bzw. ob beide
> Varianten richtig sind.
Ich denke, beide Varianten sind richtig. Es sind einfach zwei verschiedene Varianten, alles zusammenzukleben. Wenn du bei Konstruktion A (mit [mm] $g_{ij}$) [/mm] einfach jede Einheit [mm] $g_{ij}$ [/mm] durch ihr Inverses ersetzt und dann mit Konstruktion A verklebst, erhaelst du exakt das gleiche wie bei Konstruktion B (mit [mm] $g_{ji}$).
[/mm]
Ich vermute, es wird nicht schwer sein einen Isomorphismus zwischen den beiden Ergebnissen anzugeben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Sa 22.06.2013 | | Autor: | flipflop |
Hallo Felix,
vielen Dank! =)
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