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Hallo MatheForum!
Mache geraden eine Generalwiederholung zum Thema "Vektoren" bzw. "Geraden und Ebenen" und bin bisher auf einige Unklarheiten gestoßen.
Ich hoffe, jemand kann mir weiterhelfen!
Hier also meine Sammlung an Fragen:
1)
In meinem Heft steht folgendes:
Die Parameterform einer Strecke zwischen A und B mit A(1|-1|3) und B(5|2|12) lautet:
s: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ -1 \\ 3} [/mm] + [mm] t*\vektor{4 \\ 3 \\ 9}; [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
Wieso heißt es 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 ? Das verstehe ich nicht. Ich hätte gedacht, dass die Parameterform nur für t=1 gelte, da sie ja nur für die ganze Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] zutrifft. Kann mir das jemand kurz erklären?
2)
Außerdem habe ich mir an anderer Stelle aufgeschrieben: "Ist eine Koordinate im Richtungsvektor gleich Null, so ist die Gerade parallel zu einer Koordinatenachse."
Da mir dazu ein Beispiel fehlt, habe ich mir selbst eines überlegt:
g: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{5 \\ 4 \\ 3} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}; [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
Ist g somit parallel zur [mm] x_{1}x(2)-Ebene, [/mm] da die [mm] x_{3}-Koordinate [/mm] des Richtungsvektors null ist.
Habe ich das richtig verstanden?
3)
Wenn ein Punkt P auf einer Geraden liegt, so notiert man ja (etwa nach einer Punktprobe) P [mm] \in [/mm] g bzw. P [mm] \not\in [/mm] g.
Ist diese Schreibweise auch richtig, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? Also P [mm] \in [/mm] E ?
Ich habe das bisher im Buch noch nicht entdeckt, daher frage ich lieber mal nach.
4)
Nun eine Verständnisfrage zu einer konkreten Aufgabe:
Eine Ebene E geht durch den Punkt P (7|3|1) und ist zu einer Geraden mit dem Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{u} [/mm] orthogonal. Geben Sie eine Gleichung von E in Normalenform und eine Koordinatengleichung an.
Warum ist jetzt der Normalenvekor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] in der Normalenform von E identisch mit dem Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{u} [/mm] der Geraden? Ich habe mir "orthogonal" anders vorgestellt. Eben orthogonal zur Geraden Ich kann aber gerade nicht nachvollziehen, weshalb [mm] \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}.
[/mm]
Wenn da nun stünde, dass die Ebene parallel zu eben dieser Gerade sei, was würde dann für [mm] \overrightarrow{n} [/mm] gelten?
So, dass sind sie, meine (bisherigen) Fragen. Ich hoffe die Menge des Textes wirkt nicht allzu abschreckend?
(Sollte ich in solchen Fällen lieber mehrere Frageartikel schreiben?)
Ich wäre jedenfalls sehr glücklich, wenn mir jemand helfen könnte!
LG Eli
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> Hallo MatheForum!
hallo!
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> Mache geraden eine Generalwiederholung zum Thema "Vektoren"
> bzw. "Geraden und Ebenen" und bin bisher auf einige
> Unklarheiten gestoßen.
> Ich hoffe, jemand kann mir weiterhelfen!
>
> Hier also meine Sammlung an Fragen:
>
> 1)
> In meinem Heft steht folgendes:
> Die Parameterform einer Strecke zwischen A und B mit
> A(1|-1|3) und B(5|2|12) lautet:
> s: [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ -1 \\ 3}[/mm] + [mm]t*\vektor{4 \\ 3 \\ 9};[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1
>
> Wieso heißt es 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1 ? Das verstehe ich nicht. Ich
> hätte gedacht, dass die Parameterform nur für t=1 gelte, da
> sie ja nur für die ganze Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] zutrifft.
> Kann mir das jemand kurz erklären?
das interval 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] beschreibt jeden punkt auf der geraden von anfang bis ende. für t=1 wär das ja nur der endpunkt.
>
> 2)
> Außerdem habe ich mir an anderer Stelle aufgeschrieben:
> "Ist eine Koordinate im Richtungsvektor gleich Null, so ist
> die Gerade parallel zu einer Koordinatenachse."
> Da mir dazu ein Beispiel fehlt, habe ich mir selbst eines
> überlegt:
> g: [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{5 \\ 4 \\ 3}[/mm] + [mm]t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0};[/mm]
> t [mm]\in \IR[/mm]
> Ist g somit parallel zur [mm]x_{1}x–(2)-Ebene,[/mm] da
> die [mm]x_{3}-Koordinate[/mm] des Richtungsvektors null ist.
> Habe ich das richtig verstanden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 3)
> Wenn ein Punkt P auf einer Geraden liegt, so notiert man
> ja (etwa nach einer Punktprobe) P [mm]\in[/mm] g bzw. P [mm]\not\in[/mm] g.
> Ist diese Schreibweise auch richtig, wenn ein Punkt in
> einer Ebene liegt? Also P [mm]\in[/mm] E ?
> Ich habe das bisher im Buch noch nicht entdeckt, daher
> frage ich lieber mal nach.
wir notieren das auch so
>
> 4)
> Nun eine Verständnisfrage zu einer konkreten Aufgabe:
> Eine Ebene E geht durch den Punkt P (7|3|1) und ist zu
> einer Geraden mit dem Richtungsvektor [mm]\overrightarrow{u}[/mm]
> orthogonal. Geben Sie eine Gleichung von E in Normalenform
> und eine Koordinatengleichung an.
>
> Warum ist jetzt der Normalenvekor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] in der
> Normalenform von E identisch mit dem Richtungsvektor
> [mm]\overrightarrow{u}[/mm] der Geraden? Ich habe mir "orthogonal"
> anders vorgestellt. Eben orthogonal zur Geraden – Ich kann
> aber gerade nicht nachvollziehen, weshalb
> [mm]\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}.[/mm]
wenn eine ebene senkrecht zu einer geraden steht, ist der normalenvektor der ebene parallel zum richtungsvektor der geraden, da der normalenvektor ja schon senkrecht auf der ebene selbst steht. wenn man ein wenig mit der handfläche und nem finger sowas "nachbaut", sieht man das eigentlich recht schnell 
>
> Wenn da nun stünde, dass die Ebene parallel zu eben dieser
> Gerade sei, was würde dann für [mm]\overrightarrow{n}[/mm] gelten?
der normalenvektor müsste senkrecht zum/auf dem richtungsvektor stehen, also [mm] \overrightarrow{n}*\overrightarrow{u}=0
[/mm]
>
> …
> So, dass sind sie, meine (bisherigen) Fragen. Ich hoffe
> die Menge des Textes wirkt nicht allzu abschreckend?
> (Sollte ich in solchen Fällen lieber mehrere Frageartikel
> schreiben?)
>
> Ich wäre jedenfalls sehr glücklich, wenn mir jemand helfen
> könnte!
>
> LG Eli
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Danke!
LG Eli
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