Geraden "auf" Hyperboloid < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:56 Mo 12.06.2006 | | Autor: | tempo |
| Aufgabe | | Sei F={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] -1 = 0}. Finden Sie alle Geraden L [mm] \subset \IR^{3} [/mm] mit L [mm] \subset [/mm] F. |
Hi, da bin ich wieder ;)
also mein problem bei der oberen aufgabe ist das ich keine ahnung habe wie ich ansetzen soll! ich weiß das F ein ![[]](/images/popup.gif) Hyperboloid ist und ich kann auch sie symm. matrix und alles andere was bei quadriken so verlangt wird aufstellen, aber wie soll ich alle geraden finden? meiner vorstellungskraft nach gibts es keine geraden die in F liegen (höchstens gekrümte/graphen). habe mal versucht die gleichung ( [mm] x^{t} [/mm] * M * x + [mm] b*x^{t} [/mm] + c ) mit einer geradengleichung gleichzusetzen ( Punkt [mm] g=a+\lambda [/mm] * [mm] \overrightarrow{ab} [/mm] ) komme aber zu keinem brauchbaren ergebnis. kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
mit Gleichsetzen kommt man denke ich bei dieser Aufgabe nicht recht weit. Aber es geht doch darum, Geraden [mm]\vec{v} = \vec{a} + \lambda \vec{b}[/mm] zu finden, so dass für alle [mm] \lambda \vec{v} [/mm] auf dem Hyperboloid liegt.
Also würde ich die Geradengleichung in Ihre drei Komponenten aufspalten und diese dann in die Gleichung [mm]x^{2} + y^{2} - z^{2} -1 = 0[/mm] einsetzen.
Ich habe dann mal sämtliche Klammern ausquadriert und nach Potenzen von [mm] \lambda [/mm] sortiert. Die Gleichung soll dann ja für alle [mm] \lambda [/mm] erfüllt sein, also habe ich Koeffizientenvergleich nach den Potnenzen von [mm] \lambda [/mm] gemacht und 3 Gleichungen mit 6 Unbekannten erhalten, die mir dann eigentlich alle möglichen Geraden bestimmen sollten. Allerdings sind 2 von den drei Gleichungen quadratisch, so dass ich da nicht wirklich weitergekommen bin, daher erstmal ein "teilweise beantwortet" als Denkanstoss, vielleicht fällt Dir ja noch was dazu ein.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 14.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/7/7c/Hyperboloid1.pov.png){kind=small}
Hyperboloid