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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 23.11.2007 | | Autor: | belge |
| Aufgabe | | Die Gerade die durch (1,1,1) verläuft und mit dem Richtungsvektor [mm] \vektor{ -1 \\ 2 \\ 1} [/mm] ist sie parallel, sekant oder in der Ebene [mm] \varepsilon \equiv [/mm] x+3y+z-1 = 0 enthalten? |
Also ich hab das schon mal gerechnet, weiss aber nicht ob das so richtig ist. wär nett, wenn mal jemand vielleicht nen Blick drüber werfen könnt und mich evtl auf Fehler aufmerksam machen könnte. Danke.
Zu meiner Rechnung:
Gerade [mm] =\begin{cases} x_1 = 1- \alpha \\ x_2 = 1 + 2 \alpha \\ x_3 = 1 + \alpha \end{cases} [/mm] und für die Ebene halt x+3y+z = 1.
Um zu prüfen ob die Gerade und die Ebene parallel sind mache ich folgendes: (-1,2,1) x (1,3,1) =0
Aufgelöst ergibt das -1+6+1 [mm] \not= [/mm] 0
die Gerade ist also nicht parallel zu der Ebene.
Um zu prüfen ob die Gerade und die Ebene sekant sind, rechne ich :
Gerade = [mm] \begin{cases} x=1- \alpha \\ y=1+ 2 \alpha \\ z=1 + \alpha \end{cases}
[/mm]
dies setze ich in die Ebenengleichung ein, was mir gibt: 1- [mm] \alpha [/mm] +3 +6 [mm] \alpha [/mm] + 1 + [mm] \alpha [/mm] = 1 somit ist [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{-2}{3}
[/mm]
ich setze [mm] \alpha [/mm] wieder in die Ausgangsgleichung ein um die Koordinaten des Durchstosspunktes zu finden: x = 1 + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{3} [/mm] , y= 1- [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] , z=1- [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Somit häatte ich den Durchstosspunkt Gerade/Ebene gefunden : ( [mm] \bruch{5}{3} [/mm] , [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] , [mm] \bruch{1}{3} [/mm] )
Da die Gerade und die Ebene sekant sind, ist die Gerade nicht in der Ebenen enthalten. ( ich denk doch mal das ich mit der Behauptung richtig lieg).
Also ist die Endantwort dass die Gerade und die Ebene weder parallel sind, noch das die Gerade in der Ebene enthalten ist, sie aber sekant sind.
Danke fürs Drüberschauen und evtl verbessern. Hoffe dass sich euch nicht die Haare zu sehr gesträubt haben angesichts meiner bescheidenen Mathekenntnisse ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Madeleine und ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Gerade die durch (1,1,1) verläuft und mit dem
> Richtungsvektor [mm]\vektor{ -1 \\ 2 \\ 1}[/mm] ist sie parallel,
> sekant oder in der Ebene [mm]\varepsilon \equiv[/mm] x+3y+z-1 = 0
> enthalten?
Den Begriff "sekant" hab ich im Bezug auf die relative Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene bisher noch nicht gehört.
> Also ich hab das schon mal gerechnet, weiss aber nicht ob
> das so richtig ist. wär nett, wenn mal jemand vielleicht
> nen Blick drüber werfen könnt und mich evtl auf Fehler
> aufmerksam machen könnte. Danke.
Dazu sind wir ja auch da. 
> Zu meiner Rechnung:
>
> Gerade [mm]=\begin{cases} x_1 = 1- \alpha \\ x_2 = 1 + 2 \alpha \\ x_3 = 1 + \alpha \end{cases}[/mm]
> und für die Ebene halt x+3y+z = 1.
>
> Um zu prüfen ob die Gerade und die Ebene parallel sind
> mache ich folgendes: (-1,2,1) x (1,3,1) =0
Richtig. Wenn Gerade und Ebene parallel zueinander verlaufen, dann ergibt das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und der Normalenvektor der Ebene Null. Das ist hier nicht der Fall, demnach liegen Gerade und Ebene schief zueinander.
> Aufgelöst ergibt das -1+6+1 [mm]\not=[/mm] 0
>
> die Gerade ist also nicht parallel zu der Ebene.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt.
> Um zu prüfen ob die Gerade und die Ebene sekant sind,
> rechne ich :
"sekant"? Was meinst du damit? (siehe oben)
>
> Gerade = [mm]\begin{cases} x=1- \alpha \\ y=1+ 2 \alpha \\ z=1 + \alpha \end{cases}[/mm]
>
> dies setze ich in die Ebenengleichung ein, was mir gibt: 1-
> [mm]\alpha[/mm] +3 +6 [mm]\alpha[/mm] + 1 + [mm]\alpha[/mm] = 1 somit ist [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{-2}{3}[/mm]
>
> ich setze [mm]\alpha[/mm] wieder in die Ausgangsgleichung ein um die
> Koordinaten des Durchstosspunktes zu finden: x = 1 +
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\bruch{5}{3}[/mm] , y= 1- [mm]\bruch{4}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{3}[/mm] , z=1- [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Somit häatte ich den Durchstosspunkt Gerade/Ebene gefunden
> : ( [mm]\bruch{5}{3}[/mm] , [mm]\bruch{-1}{3}[/mm] , [mm]\bruch{1}{3}[/mm] )
Ansatz ist richtig (hab die Rechnung nicht überprüft, aber der Ansatz stimmt).
> Da die Gerade und die Ebene sekant sind, ist die Gerade
> nicht in der Ebenen enthalten. ( ich denk doch mal das ich
> mit der Behauptung richtig lieg).
Die Gerade kann nur in der Ebene enthalten sein, wenn du vorher nachweisen konntest, dass Gerade und Ebene parallel sind (das hast du aber schon anfangs verneinen können; wenn Gerade und Ebene schief zueinander liegen, dann muss es zwangsläufig einen Durchstoßpunkt geben).
> Also ist die Endantwort dass die Gerade und die Ebene weder
> parallel sind, noch das die Gerade in der Ebene enthalten
> ist, sie aber sekant sind.
Wie gesagt, die Gerade kann nur dann in der Ebene liegen, wenn Gerade und Ebene parallel zueinander liegen.
> Danke fürs Drüberschauen und evtl verbessern. Hoffe dass
> sich euch nicht die Haare zu sehr gesträubt haben
> angesichts meiner bescheidenen Mathekenntnisse ;)
Keine Ursache.
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Sa 24.11.2007 | | Autor: | belge |
Ok, sieht ja also gar nicht so schlecht aus was ich da gerechnet hab.
Mit sekant meinte ich übrigens, das die Gerade die Ebene "durchstösst". Hab das aus meiner französischen Aufgabenstellung übersetzt und da stand sekant. Wird anscheinend auf französisch so genannt, aber auf deutsch scheinbar nicht. Aber solang die Frage verstanden worden ist, ist es ja ok.
danke.
mfG madeleine
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