Gerade schneidet 2 Geraden? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 05.04.2005 | | Autor: | k3nny |
Hey ich hab da grad mal ne kleine Denkblockade bei einer Aufgabe!
g1 [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] +r* [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
g2 [mm] \vektor{2 \\ 4 \\0} [/mm] +s* [mm] \vektor{-4 \\ -4 \\1}
[/mm]
Diese beiden Geraden (windschief!) sollen jetzt von einer 3ten Gerade mit dem Ortsvektor [mm] \vektor{6 \\ 2 \\8} [/mm] geschnitten werden, so dass sowohl auf g1 als auch auf g2 ein Schnittpunkt mit dieser neuen Geraden g3 entsteht! Die Aufgabe lautet: Bestimme die Gerade...
Hab mir überlegt erstmal den Richtungsvektor = t* [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] zu setzen um dann g1 g2 und g3 gleichzusetzen um über ein Gauß Gleichungssystem t herauszufinden ...Bekomme für t=-6,8 heraus was mir aber irgendwie nicht wirklich weiterhilft...
Brauch glaub ich irgendwie Hilfe :(
THX schonmal im Vorraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Di 05.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber k3nny
> Hey ich hab da grad mal ne kleine Denkblockade bei einer
> Aufgabe!
>
> g1 [mm]\vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm] +r* [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> g2 [mm]\vektor{2 \\ 4 \\0}[/mm] +s* [mm]\vektor{-4 \\ -4 \\1}[/mm]
>
> Diese beiden Geraden (windschief!) sollen jetzt von einer
> 3ten Gerade mit dem Ortsvektor [mm]\vektor{6 \\ 2 \\8}[/mm]
> geschnitten werden, so dass sowohl auf g1 als auch auf g2
> ein Schnittpunkt mit dieser neuen Geraden g3 entsteht! Die
> Aufgabe lautet: Bestimme die Gerade...
>
> Hab mir überlegt erstmal den Richtungsvektor = t*
> [mm]\vektor{x \\ y \\z}[/mm] zu setzen um dann g1 g2 und g3
> gleichzusetzen um über ein Gauß Gleichungssystem t
> herauszufinden ...Bekomme für t=-6,8 heraus was mir aber
> irgendwie nicht wirklich weiterhilft...
>
Ich glaube kaum, dass das so klappen kann! Ich kann mich aber auch täuschen. Denn wenn du nur mal [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] gleichzusetzen versuchst, dann sollte das Gleichungssystem doch den Schnittpunkt liefern. Da deine Geraden aber angeblich windschief sind, kommt da sicher kein Schnittpunkt zum Vorschein!
Ich würde das Problem mit einem etwas anderen Ansatz angehen. Ein Modell der beiden Geraden [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$, [/mm] dargestellt durch einen Kugelschreiber und ein Bleistift (die ich in meinen Händen windschief vor mir in den Händen halte), einem fixen Punkt (der Punkt aus [mm] $g_3$, [/mm] aufgemalt auf einem auf dem Pult liegenden Blatt Papier, mit $P$ bezeichnet) haben mich auf fogende Idee gebracht: Lasse auf dem Kugelschreiber einen Punkt wandern und verbinde ihn laufend mit dem Punkt auf dem Papier. Dadurch wird eine Ebene Ueberstrichen. Diese Ebene bildet mit dem Bleistift einen Schnittpunkt $Q$. Ich denke, die Verbindungsgerade von $P$ und $Q$ sollte die gesuchte Gerade sein!
Kannst du das, zunächst im Geiste, dann auch rechnerisch, nachvollziehen? 
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hi, kenny,
Pauls Idee ist richtig!
Mathematisch bedeutet das:
Erstelle zunächst die Ebene E, die den Punkt P(6/2/8) enthält und auch die Gerade [mm] g_{1}. [/mm] Nimm zunächst die Parameterform dieser Ebene: Aufpunkt P(6/2/8) , Richtungsvektor1: Richtungsvektor der Geraden; Richtungsvektor2: Verbindungsvektor zwischen P und dem Aufpunkt (0/1/0) dieser Geraden.
Nun musst Du E mit [mm] g_{2} [/mm] schneiden (Schnittpunkt:S)! Dazu würde ich E erst mal in die Koordinatenform umwandeln und anschließend [mm] g_{2} [/mm] einsetzen, um den Parameter s zu berechnen.
Wenn Du dann den Punkt S gefunden hast, brauchst Du nur noch die Gerade PS aufzustellen: Sie ist die gesuchte Gerade.
Nun rechne das mal durch und gib' uns Dein Ergebnis! Wir schauen dann nach, ob's stimmt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 05.04.2005 | | Autor: | k3nny |
Schon mal danke euch beiden für die vielen Tips !!!
Habe als Ebene in Normalenform raus [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] * [mm] \vektor{-7 \\ 6 \\ 6} [/mm] = 18
Der Parameter ist = 0.8
S wäre [mm] \vektor{-1.2 \\ 0.8 \\0.8}
[/mm]
Und die Gerade die die beiden Anderen schneidet lautet
[mm] \vektor{6 \\ 2 \\8} [/mm] +r*( [mm] \vektor{-7.2 \\ -1.2 \\-7.2}
[/mm]
Kann das soweit stimmen??? ^^
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Hi, kenny,
> Habe als Ebene in Normalenform raus [mm]\vektor{x \\ y \\z}[/mm] *
> [mm]\vektor{-7 \\ 6 \\ 6}[/mm] = 18
Wie kommst Du auf diesen Normalenvektor?
Die Richtungsvektoren sind doch: [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 8}
[/mm]
Die stehen auf Deinem Normalenvektor nicht senkrecht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Di 05.04.2005 | | Autor: | k3nny |
Tut mir echt leid, weiss auch nicht was mich da geritten hat ^^
Also nochmal
Die Richtungsvektoren sind [mm] \vektor{0 \\ -2 \\1} [/mm] und [mm] \vektor{6 \\ 1 \\8}
[/mm]
Der Normalenvektor lautet [mm] \vektor{-17 \\ 6 \\12}
[/mm]
g2 in E einsetzen
t=(2/7)
Schnittpunkt S [mm] \vektor{6/7 \\ 20/7 \\2/7}
[/mm]
Ich hoffe diesmal stimmts :(
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Hi, kenny,
> Die Richtungsvektoren sind [mm]\vektor{0 \\ -2 \\1}[/mm] und
> [mm]\vektor{6 \\ 1 \\8}[/mm]
>
> Der Normalenvektor lautet [mm]\vektor{-17 \\ 6 \\12}[/mm]
Richtig!
> g2 in E einsetzen
>
> t=(2/7)
Richtig (auch wenn der Parameter bei g2 ursprünglich s hieß)!
>
> Schnittpunkt S [mm]\vektor{6/7 \\ 20/7 \\2/7}[/mm]
Hab' ich auch raus! (Reichlich blödes Ergebnis!)
Und nun musst Du nur noch PS bilden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Mi 06.04.2005 | | Autor: | k3nny |
Also erstmal bedanke ich mich vielmals bei dir Zwerglein und deiner Geduld :), (natürlich auch bei dir Paulus für die anschauliche Erklärung...) ihr habt mir echt geholfen !
Bekomme dann als Gerade
[mm] \vektor{6 \\ 2 \\ 8} [/mm] + t* [mm] \vektor{-36/7 \\ 6/7 \\-54/7}
[/mm]
heraus,
der Schnittpunkt mit gerade g1 liegt bei [mm] \vektor{0 \\ 3 \\-1} [/mm] [für t=7/6 und r=-1]
und
der Schnittpunkt mit Gerade g2 liegt bei [mm] \vektor{6/7 \\ 20/7 \\ 2/7} [/mm] [für t=1 und s=2/7]
Womit bewiesen wäre, g3 schneidet die windschiefen Geraden g1 und g2!!! ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, kenny,
kleine "Verbesserung" im Sinne von "schöneres Ergebnis":
Du kannst aus dem Richtungsvektor [mm] \bruch{6}{7} [/mm] herausziehen und anschließend folgendermaßen schreiben:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 2 \\ 8} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-6 \\ 1 \\ -9}
[/mm]
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