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Hey unzwar hätte ich mal eine Verständnisfrage an euch in Bezug auf Baryzentrische Koordinaten. unzwar hatten wir ein Dreieck ABC gegebn in der euklid. Ebene und r,s,t sind paarweise verschiedene reelle zahlen. dann sei die Menge aller Punkte mit den baryzentrischen Koordinaten (x,y,z) bzgl. des Dreiecks ABC, die die Gleichung rx+sy+tz=0 lösen eine Gerade.
Kann mir jemand sagen, wie ich mir diese Gerade vorstellen kann, irgendwie seh ich das nicht wirklich, warum das ne gerade sein soll
danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hey unzwar hätte ich mal eine Verständnisfrage an euch in
> Bezug auf Baryzentrische Koordinaten. unzwar hatten wir ein
> Dreieck ABC gegebn in der euklid. Ebene und r,s,t sind
> paarweise verschiedene reelle zahlen. dann sei die Menge
> aller Punkte mit den baryzentrischen Koordinaten (x,y,z)
> bzgl. des Dreiecks ABC, die die Gleichung rx+sy+tz=0 lösen
> eine Gerade.
> Kann mir jemand sagen, wie ich mir diese Gerade vorstellen
> kann, irgendwie seh ich das nicht wirklich, warum das ne
> gerade sein soll
1) Die Lösungsmenge M dieser Gleichung rx+sy+tz=0 ist ein Untervektorraum im [mm] $\IR^3$
[/mm]
2) Die Abbildung [mm] $\Phi$, [/mm] die einem Punkt im [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3$ [/mm] den Punkt im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit den baryzentrischen Koordinaten [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] bezüglich eines Dreiecks T=(A,B,C) zuordnet, ist gegeben durch [mm] $\Phi(x)=x_1A+x_2B+x_3C$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $\Phi:\IR^3\to\IR^2$ [/mm] linear.
Also ist [mm] $\Phi(M)$ [/mm] als Bild eines Untervektorraums unter einer linearen Abbildung wieder ein Untervektorraum. Jetzt muss man sich nur noch überlegen in welchem Fall auch tatsächlich [mm] $\dim\Phi(M)=1$ [/mm] gilt.
Gruß, Robert
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Hmm aber wie kommt man darauf, dass die Lösungsmenge M ein Untervektorraum des [mm] \IR^{3} [/mm] ist? das Dreieck soll doch in der Ebene liegen. kann ich mir das so vorstellen, wie die darstellung bei wikipedia unter dem stcihwort baryzentrische koordinaten, dass quasi die seiten des Dreicks in der ebene sone art neue Koordinatenachsen bilden und da hab ich dann ja, da es drei seiten gibt dann [mm] \IR^{3} [/mm] oder wie??? aber ne gerade ist doch durch 2 punkte dann eindeutig bestimmt, wie kann ich mir das mit der gleichung vorstellen??
lg
piccolo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mo 01.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hmm aber wie kommt man darauf, dass die Lösungsmenge M ein
> Untervektorraum des [mm]\IR^{3}[/mm] ist?
Das ist elementare lineare Algebra. M ist der Kern der linearen Abbildung [mm] $\Phi:\IR^3\ni x\mapsto rx_1+sx_2+tx_3\in\IR$ [/mm] und daher gilt
1) ein Untervektorraum von [mm] $\IR$
[/mm]
2) [mm] $\dim M\ge [/mm] 2$ und [mm] $\dim M=3\gdw [/mm] r=s=t=0$
Wegen diesem Anschauungskram bin ich jetzt ehrlichgesagt überfragt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 01.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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