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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Do 12.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Geometrische Verteilung, Erwartungswert, Varianz
Gegeben sei eine geometrisch verteilte Zufallsvariable V mit
[mm] P(V=i)=(\bruch{1}{2})^{i},i=1,2,...
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von V.
b) Existiert der Erwartungswert [mm] E(2^{V})?
[/mm]
c) Berechnen Sie die Verteilung von
[mm] W=cos(\bruch{\pi}{2}*V)-1,
[/mm]
den Erwartungswert und die Varianz von W. |
Lieber Matheraum,
die Musterlösung bezüglich b) sagt folgendes
[mm] E(2^{V})=\summe_{i=1}^{\infty}2^{i}P(V=i)=\summe_{i=1}^{\infty}=\infty
[/mm]
Der Ansatz der Musterlösung zu c) lautet:
[mm] W=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } V=4k,k\in\IN \mbox{ } \\ -1 & \mbox{falls } V=2k+1,k\in\IN_{0} \mbox{ } \\ -2 & \mbox{falls } V=4k+2,k\in\IN_{0} \end{cases}
[/mm]
Damit erhält man für die Einzelwahrscheinlichkeiten von W Folgendes:
[mm] P(W=0)=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{4k}}=...
[/mm]
Meine Fragen:
1.1) Wie komme ich von [mm] E(2^{V}) [/mm] auf [mm] \summe_{i=1}^{\infty}2^{i}P(V=i)?
[/mm]
1.2) Wie komme ich von [mm] \summe_{i=1}^{\infty}2^{i}P(V=i) [/mm] auf [mm] =\summe_{i=1}^{\infty}1
[/mm]
1.3) Wieso ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1=\infty? [/mm] Die konstante Funktion 1 besitzt doch keine Laufvariable.
2.1) Wie komme ich von P(W=0) auf [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{4k}}?
[/mm]
Über eine baldige Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Do 12.02.2009 | | Autor: | djmatey |
> Geometrische Verteilung, Erwartungswert, Varianz
>
> Gegeben sei eine geometrisch verteilte Zufallsvariable V
> mit
>
> [mm]P(V=i)=(\bruch{1}{2})^{i},i=1,2,...[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von V.
>
> b) Existiert der Erwartungswert [mm]E(2^{V})?[/mm]
>
> c) Berechnen Sie die Verteilung von
>
> [mm]W=cos(\bruch{\pi}{2}*V)-1,[/mm]
>
> den Erwartungswert und die Varianz von W.
> Lieber Matheraum,
>
>
>
> die Musterlösung bezüglich b) sagt folgendes
>
>
> [mm]E(2^{V})=\summe_{i=1}^{\infty}2^{i}P(V=i)=\summe_{i=1}^{\infty}=\infty[/mm]
>
>
>
> Der Ansatz der Musterlösung zu c) lautet:
>
>
> [mm]W=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } V=4k,k\in\IN \mbox{ } \\ -1 & \mbox{falls } V=2k+1,k\in\IN_{0} \mbox{ } \\ -2 & \mbox{falls } V=4k+2,k\in\IN_{0} \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Damit erhält man für die Einzelwahrscheinlichkeiten von W
> Folgendes:
>
>
> [mm]P(W=0)=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{4k}}=...[/mm]
>
>
>
>
> Meine Fragen:
>
>
> 1.1) Wie komme ich von [mm]E(2^{V})[/mm] auf
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}2^{i}P(V=i)?[/mm]
Falls X diskret mit Werten [mm] x_k, [/mm] gilt
E(g(X)) = [mm] \summe_{k} g(x_k)P(X=x_k)
[/mm]
für jede stetige Funktion [mm] g:\IR \rightarrow \IR
[/mm]
>
> 1.2) Wie komme ich von [mm]\summe_{i=1}^{\infty}2^{i}P(V=i)[/mm] auf
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty}1[/mm]
Wie du oben geschrieben hast, gilt
P(V=i) = [mm] \bruch{1}{2^{i}}
[/mm]
Einfach einsetzen, und das [mm] 2^{i} [/mm] kürzt sich raus.
>
> 1.3) Wieso ist [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1=\infty?[/mm] Die konstante
> Funktion 1 besitzt doch keine Laufvariable.
Das bedeutet lediglich, dass sich die Summanden nicht verändern. Es wird trotzdem so oft addiert, wie es die Summe angibt, z.B.
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] a = na
>
> 2.1) Wie komme ich von P(W=0) auf
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{4k}}?[/mm]
>
Es gilt ja W=0 für V=4k mit k [mm] \in \IN
[/mm]
Also geh die k doch einfach mal durch:
k=1:
P(V=4) = [mm] \bruch{1}{2^{4}}
[/mm]
k=2:
P(V=8) = [mm] \bruch{1}{2^{8}}
[/mm]
k=3:
P(V=12) = [mm] \bruch{1}{2^{12}}
[/mm]
usw.
P(W=0) ist dann die Summe dieser einzelnen Wahrscheinlichkeiten und ergibt somit die von dir angegebene Summe.
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> Über eine baldige Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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> Gruß, Marcel
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 12.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Okay super! Jetzt habe ich die Orientierung wieder. Nur eines noch: Gibt es vielleicht irgendwo eine Übersicht die mir zeigt, welche Verteilungen einer diskreten Zufallsvariablen und welche einer stetigen Zufallsvariablen zuzuordnen sind? Das fände ich hinsichtlich der Anwendung der richtigen Formel durchaus brauchbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Fr 13.02.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
solche Übersichten findest du in Büchern oder bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
LG djmatey
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