Geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich habe eine Frage:
Wie kann man kurz zeigen, dass die Glieder der geometrischen Reihe eine Nullfolge bilden, wenn [mm] | x | < 1 [/mm] ?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Fr 08.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen!
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> Ich habe eine Frage:
>
> Wie kann man kurz zeigen, dass die Glieder der
> geometrischen Reihe eine Nullfolge bilden, wenn [mm]| x | < 1[/mm]
> ?
Wir können x [mm] \not= [/mm] 0 annehmen.
Ist |x|<1, so ist 1/|x| > 1, also gilt mit einem z >0: 1/|x| = 1+z.
Somit gilt für n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] 1/|x^n| [/mm] = [mm] (1+z)^n \ge [/mm] 1+nz [mm] \ge [/mm] nz (die erste Ungleichung folgt aus der Bernoullischen Ungl.).
Es fogt [mm] |x^n| \le [/mm] 1/(nz) für jedes n [mm] \in \IN [/mm] und somit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x^n [/mm] = 0.
FRED
>
> Vielen Dank!
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank! Total schöner einfacher Beweis. Kann man sich gut merken  .
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Irmchen!
Die Glieder der geometrischen Reihe bilden eine geometrische Folge mit [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_0*q^{n-1}$ [/mm] .
Und die Eigenschaft der Nullfolge für $|q| \ < \ 1$ kannst Du auch über das [mm] $\varepsilon$-Folgenkriterium [/mm] für Konvergenz zeigen:
[mm] $$\left|a_n-0\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|a_0*q^{n-1}\right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$$
[/mm]
Nun nach $n \ = \ [mm] n(\varepsilon) [/mm] \ > \ ...$ umformen.
Gruß
Loddar
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