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Auch wenn mir leider niemand bei den anderen Fragen helfen kann, vielleicht ja hier. Es geht nachwievor um elliptische Funktionen, genauer gesagt wie [mm] \wp-Funktion. [/mm] Für diese gibt es ein Additionstheorem:
[mm] \wp(z+w)=\bruch{1}{4}\left[\bruch{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)}\right]^2-\wp(z)-\wp(w).
[/mm]
Soweit so gut. Dann gibt es auch eine geometrische Fassung davon: Drei paarweise verschiedene Punkte einer elliptischen Kurve [mm] \tilde{X}(g_2,g_3) [/mm] haben genau dann die Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen.
Ich verstehe die Beweise und die Herleitung der geometrischen Fassung formell, aber nicht inhaltlich. Irgendwie wird dadurch die Addition von Punkten auf elliptischen Kurven definiert. Aber auch da sehe ich nicht, was das mit diesem Theorem zu tun hat.
Kann jemand versuchen, das begreiflich zu machen, was die geometrische Interpretation besagt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 28.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Auch wenn mir leider niemand bei den anderen Fragen helfen
> kann, vielleicht ja hier. Es geht nachwievor um elliptische
> Funktionen, genauer gesagt wie [mm]\wp-Funktion.[/mm] Für diese gibt
> es ein Additionstheorem:
> [mm]\wp(z+w)=\bruch{1}{4}\left[\bruch{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)}\right]^2-\wp(z)-\wp(w).[/mm]
>
> Soweit so gut. Dann gibt es auch eine geometrische Fassung
> davon: Drei paarweise verschiedene Punkte einer
> elliptischen Kurve [mm]\tilde{X}(g_2,g_3)[/mm] haben genau dann die
> Summe Null, wenn sie auf einer Geraden liegen.
Genau.
> Ich verstehe die Beweise und die Herleitung der
> geometrischen Fassung formell, aber nicht inhaltlich.
> Irgendwie wird dadurch die Addition von Punkten auf
> elliptischen Kurven definiert. Aber auch da sehe ich nicht,
> was das mit diesem Theorem zu tun hat.
Nun, du hast ja eine Kurvengleichung der Form [mm] $y^2 [/mm] = f(x)$, wobei $f$ ein Polynom von Grad 3 ist.
Jetzt setz mal eine Geradengleichung einer Gerade ein, die durch die Punkte [mm] $(\wp(z), \wp'(z))$ [/mm] und [mm] $(\wp(w), \wp'(w))$ [/mm] geht. Du erhaelst ein Polynom in $x$ von Grad 3.
Zwei Nullstellen kennst du allerdings schon: [mm] $\wp(z)$ [/mm] und [mm] $\wp(w)$, [/mm] da dies die $x$-Koordinaten von zwei Punkten sind, die sowohl auf der Kurve als auch auf der Gerade liegen.
Das Polynom was du erhalten hast ist also von der Form [mm] $\lambda [/mm] (x - [mm] \wp(z)) [/mm] (x - [mm] \wp(w)) [/mm] (x - t)$ fuer eine Konstante [mm] $\lambda$ [/mm] und ein $t$. Weiterhin ist dieses Polynom [mm] $\lambda x^3 [/mm] - [mm] \lambda (\wp(z) [/mm] + [mm] \wp(w) [/mm] + t) [mm] x^2 [/mm] + [mm] \dots$. [/mm] Durch Koeffizientenvergleich von [mm] $x^2$ [/mm] bekommst du dann eine Formel fuer $t$, die Abhaengig ist von [mm] $\wp(z)$ [/mm] und [mm] $\wp(w)$ [/mm] und der Kurvengleichung (oder auch nicht von allen davon).
Diese Formel liefert dir die $x$-Koordinate vom dritten Schnittpunkt der Gerade mit der Kurve, und sollte genau der obigen Formel aus dem Additionstheorem entsprechen.
Schau z.B. auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Kann jemand versuchen, das begreiflich zu machen, was die
> geometrische Interpretation besagt?
Hoffentlich hilft das. Ansonsten sag mal genauer wo das Problem liegt...
LG Felix
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Hey Felix!
Schonmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Das mit dem Koeffizientenvergleich zur Herleitung der analytischen Version habe ich verstanden.
Ich stelle ergänzend vielleicht einige exaktere Fragen zu meinem Verständnisproblem:
Unsere Kurve besteht, wenn ich es richtig verstehe, aus der Nullstellenmenge des homogenisierten Polynoms [mm] \tilde{P}(z_1,z_2,z_3)=z_0z_2^2-4z_1^3+g_2z_0^2z_1+g_3z_0^3.
[/mm]
Jetzt nehmen wir, wie du gesagt hast, mal zwei Punkte die darauf liegen, die also eingesetzt in P 0 ergeben. Nennen wir sie [mm] (1,\wp(z),\wp'(z)) [/mm] und [mm] (1,\wp(w),\wp'(w)).
[/mm]
Erstes Problem: Wir haben hier ein Polynom in 3 Variablen. Wie kommt man zum Polynom in x vom Grad 3? Oder anders gefragt: warum gibt es überhaupt genau 3 Nullstellen?
Zweites Problem: Angenommen ich wüsste, dass es 3 Nullstellen gibt. Wieso suche ich die Dritte auf der Geraden durch die ersten Beiden?
Und letzte Frage: Warum ist dann die Summe der 3 Punkte 0? Und wo (in welchem Körper unter welcher Verknüpfung) betrachte ich die Summe der Punkte überhaupt? Die Summe der Urbilder unter der Bijektion aus dem Torus [mm] \IC/L?
[/mm]
Wie du merkst, ist mir das leider noch nicht wirklich klar, wie man von den elliptischen Funktionen auf die algebraische Theorie der Geometrie übergeht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Fr 28.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Schonmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Das
> mit dem Koeffizientenvergleich zur Herleitung der
> analytischen Version habe ich verstanden.
Schoen.
> Ich stelle ergänzend vielleicht einige exaktere Fragen zu
> meinem Verständnisproblem:
> Unsere Kurve besteht, wenn ich es richtig verstehe, aus
> der Nullstellenmenge des homogenisierten Polynoms
> [mm]\tilde{P}(z_1,z_2,z_3)=z_0z_2^2-4z_1^3+g_2z_0^2z_1+g_3z_0^3.[/mm]
> Jetzt nehmen wir, wie du gesagt hast, mal zwei Punkte die
> darauf liegen, die also eingesetzt in P 0 ergeben. Nennen
> wir sie [mm](1,\wp(z),\wp'(z))[/mm] und [mm](1,\wp(w),\wp'(w)).[/mm]
> Erstes Problem: Wir haben hier ein Polynom in 3 Variablen.
> Wie kommt man zum Polynom in x vom Grad 3? Oder anders
> gefragt: warum gibt es überhaupt genau 3 Nullstellen?
Nun, du brauchst erstmal die Gerade die durch deine beiden Punkte geht. Dies ist ein Polynom in [mm] $z_0, z_1, z_2$ [/mm] von Grad 1 (homogen). Dieses kannst du entweder nach [mm] $z_0$, $z_1$ [/mm] oder [mm] $z_2$ [/mm] aufloesen (oder nach mehreren, ist egal, such dir eins aus) und diese Variable dann einsetzen in die Kurvengleichung. Du erhaelst ein homogenes Polynom von Grad 3 in den anderen beiden Variablen, da du aus Monomen von Grad 3 die Summe von zwei Monomen ebenfalls von Grad 3 machst.
Sagen wir mal, es bleiben die Variablen [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$, [/mm] und die Geradengleichung ist [mm] $z_0 [/mm] = [mm] h(z_1, z_2)$; [/mm] dann kannst du dieses Polynom schreiben als ein Produkt [mm] $(a_1 z_1 [/mm] - [mm] b_1 z_2) (a_2 z_1 [/mm] - [mm] b_2 z_2) (a_3 z_1 [/mm] - [mm] b_3 z_2)$; [/mm] jeder diese Faktoren gehoert zu einem Schnittpunkt von Kurve und Gerade, naemlich den Punkten [mm] $(h(b_i, a_i), b_i, a_i)$.
[/mm]
> Zweites Problem: Angenommen ich wüsste, dass es 3
> Nullstellen gibt. Wieso suche ich die Dritte auf der
> Geraden durch die ersten Beiden?
Na, weil du den dritten Schnittpunkt suchst, von zwei gegebenen.
> Und letzte Frage: Warum ist dann die Summe der 3 Punkte 0?
Nun, das ergibt sich halt so.
> Und wo (in welchem Körper unter welcher Verknüpfung)
> betrachte ich die Summe der Punkte überhaupt? Die Summe der
> Urbilder unter der Bijektion aus dem Torus [mm]\IC/L?[/mm]
Ja, auf dem Torus.
LG Felix
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Es wird klarer! :)
> Nun, du brauchst erstmal die Gerade die durch deine beiden
> Punkte geht. Dies ist ein Polynom in [mm]z_0, z_1, z_2[/mm] von Grad
> 1 (homogen). Dieses kannst du entweder nach [mm]z_0[/mm], [mm]z_1[/mm] oder
> [mm]z_2[/mm] aufloesen (oder nach mehreren, ist egal, such dir eins
> aus) und diese Variable dann einsetzen in die
> Kurvengleichung. Du erhaelst ein homogenes Polynom von Grad
> 3 in den anderen beiden Variablen, da du aus Monomen von
> Grad 3 die Summe von zwei Monomen ebenfalls von Grad 3
> machst.
Ich denke mal tippend. Meine Gerade ist y=mx+c. [mm] m=\bruch{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)} [/mm] und dementsprechend irgendwas für b, damit's passt.
Übersetzt von [mm] P^2\IC [/mm] wird [mm] (z_0,z_1,z_2) [/mm] zu [mm] (\bruch{z_1}{z_0},\bruch{z_2}{z_0})=(x,y) [/mm] oder? Nach [mm] z_0 [/mm] auflösen bringt [mm] z_0=\bruch{z_2-z_1m}{b}=:h(z_1,z_2).
[/mm]
In die Gerade eingesetzt lande ich bei [mm] P(z_0,z_1,2_2)=(\bruch{z_2-z_1m}{b})z_2^2-4z_1^3+g_2(\bruch{z_2-z_1m}{b})^2z_1+g_3(\bruch{z_2-z_1m}{b})^3, [/mm] in der Tat ein Polynom von homogenem Grad 3 in [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2. [/mm] Zwei Nullstellen sind mir bekannt, nämlich [mm] (\wp(z),\wp'(z)) [/mm] und [mm] (\wp(w),\wp(z)). [/mm] Die dritte stellt sich zu [mm] (\wp(z+w),-\wp(z+w)) [/mm] heraus.
Die Urbilder in [mm] \IC/L [/mm] sind per Definition z,w und -(z+w). Klar, dann ist deren Summe 0.
Bin ich halbwegs richtig?
Ich lasse das mal heute Nacht sacken und krame es morgen früh wieder raus.
Eine Frage hatte ich noch zu den Geraden. Im anderen Thread sagst du, eine Gerade hat die Form ax+by+cz=0. Ist das eine Gerade durch den Ursprung? Definiert sich eine Gerade in [mm] P^2\IC [/mm] nicht über 2 Punkte und zwei Variablen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu?
[/mm]
Ich danke dir wirklich für deine Geduld und Zeit!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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