Geometrische Brownsche Bew. < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mal wieder eine kleine Frage:
In vielen Stochastik- oder Finanzmathematik-Büchern findet man für den Aktienkurs S folgenden Prozess:
$ [mm] dS_{t} [/mm] = [mm] S_{t} \mu [/mm] dt + [mm] S_t \sigma dW_{t} [/mm] $.
Ich habe jetzt aber für die Dichtefunktion der Lognormalverteilung ein r statt ein [mm] $\mu$ [/mm] und frage mich, wann man den Prozess mit [mm] $\mu$ [/mm] bzw. wann mit dem risikolosen Zins r [mm] schreibt.\\
[/mm]
Ich habe $ [mm] \bruch{ln S_{T}- ln S_{t} - (\mu-1/2 \sigma^{2})(T-t)}{\sigma\wurzel{T-t}}\sim [/mm] N(0,1)$, rechne aber eigentlich mit r, was man an der Definition von [mm] $d_{1}$ [/mm] und [mm] $d_{2}$ [/mm] in der Black-Scholes-Formel sehen kann:
Der Wert einer Europäischen Call-Option ist gegeben durch
[mm] $C(t,S_{t},K,T) [/mm] = S [mm] N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$ [/mm] und
[mm] $d_{1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(\bruch{S}{K}) + (r + \bruch{1}{2}\sigma^{2})(T-t)}{\sigma \wurzel{T-t}}$ [/mm]
[mm] $d_{2} [/mm] = [mm] d_{1}-\sigma \wurzel{T-t}$.
[/mm]
Meine Frage: Muss mein Prozess nicht
$ [mm] dS_{t} [/mm] = [mm] S_{t} [/mm] r dt + [mm] S_t \sigma dW_{t} [/mm] $ lauten?
(Ich schaff es nicht fehlerfrei, sorry!)
Danke für die Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Do 18.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Stefan!
Das kommt darauf, unter welchem Maß du rechnest. Unter dem "physischen" (beobachtbaren) Maß $P$ musst du mit [mm] $\mu$ [/mm] rechnen, unter dem risikoneutralen Maß (Martingalmaß), das für die Bewertung ausschlaggebend ist, mit der Short Rate $r$.
Der Übergang zwischen den Maßen wird durch Formeln von Girsanov gegeben. Das findest du in jedem Finanzmathematikbuch (oder auch in meinem Skript).
Liebe Grüße
Stefan
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Ok, dann werd ich mir das mal genau ansehen.
Danke, danke, danke!
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Hallo Stefan,
ich habe das Skript durchgelesen, finde aber nichts von Girsanov und dem Unterschied zwischen den beiden Maßen. Ich hab den ganzen Matheraum nach einem anderen Skript abgesucht, und es scheint wirklich noch eins außer dem finanzvorkurs1vorlesung.ps.pdf zu geben.
Könntest du mir bitte den Link senden?
Das wär nett.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 18.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Stefan!
Schau mal hier; dieses Skript meinte ich (Kapitel 4).
Es ist stark an den Bjoerk angelegt ("Arbitrage Theory in Continuous Time"). Wenn du mathematisch exaktere Darstellungen haben willst, kann ich dir zum Beispiel folgende Bücher empfehlen:
Musiela/Rutkowski: Martingal Methods in Financial Modelling
Meyer: Continuous Stochastic Calculus with Applications in Finance
Elliott/Kopp: Mathematics of Financial Markets
usw.
Aber für eine gute Intuition und das Erlernen des Kalküls ist der Bjoerk sehr gut (und im Skript habe ich ein paar Ergänzungen vorgenommen, gerade zum Maßwechsel -> Kapitel 4).
Liebe Grüße
Stefan
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Hi Stefan,
jau, das Skript ist richtig!! Dann werd ich mich jetzt mal an Martingalmaße ranmachen.
Danke für alles.
Stefan.
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Also, ich habe das Skript gelesen und auch soweit verstanden, dass man durch ein neues Maß einen anderen Prozess bekommt.
Trotzdem verstehe ich folgendes nicht:
Ich habe selbst hergeleitet, dass
[mm] $ln(S_T)$ [/mm] normalverteilt ist mit
Erwartungswert [mm] $ln(S_t) [/mm] + [mm] (\mu [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)$ [/mm] und
Varianz [mm] $\sigma^2(T-t)$, [/mm] wobei ich für den Aktienkurs die GBB mit [mm] $\mu$ [/mm] angenommen habe.
(in Sandmann und Kwok findet man diese Herleitung!)
Wenn ich rechne, rechne ich aber die ganze Zeit mit derselben Normalverteilung, nur r statt [mm] $\mu$, [/mm] und mit der Formel mit r wird ja auch die Black-Scholes-Formel geschrieben.
Wenn ich beispielsweise die Wahrscheinlichkeit ausrechnen will, dass [mm] $S_{T}>K$ [/mm] gilt, kommt da [mm] $d_2$ [/mm] von Black-Scholes raus, also mir r statt mit [mm] $\mu$!!
[/mm]
Es ist doch nicht [mm] $\mu$ [/mm] =r!!!? HIIIILFE!
Wo ist der Haken?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Do 18.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Stefan!
> Also, ich habe das Skript gelesen und auch soweit
> verstanden, dass man durch ein neues Maß einen anderen
> Prozess bekommt.
Sagen wir besser: Der gleiche Prozess genügt einer anderen SDG.
> Trotzdem verstehe ich folgendes nicht:
>
> Ich habe selbst hergeleitet, dass
> [mm]ln(S_T)[/mm] normalverteilt ist mit
> Erwartungswert [mm]ln(S_t) + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)[/mm]
> und
> Varianz [mm]\sigma^2(T-t)[/mm], wobei ich für den Aktienkurs die
> GBB mit [mm]\mu[/mm] angenommen habe.
Richtig. Dann weißt du, dass [mm] $\ln(S_T)$ [/mm] unter dem physischen Maß so verteilt ist wie von dir angegeben.
> Wenn ich rechne, rechne ich aber die ganze Zeit mit
> derselben Normalverteilung, nur r statt [mm]\mu[/mm], und mit der
> Formel mit r wird ja auch die Black-Scholes-Formel
> geschrieben.
Auch richtig. Weil man vorher zum Martingalmaß übergeht, sich der Drift der SDG ändert und dann [mm] $\ln(S_T)$ [/mm] unter dem Martingalmaß eben so verteilt ist.
> Wenn ich beispielsweise die Wahrscheinlichkeit ausrechnen
> will, dass [mm]S_{T}>K[/mm] gilt, kommt da [mm]d_2[/mm] von Black-Scholes
> raus, also mir r statt mit [mm]\mu[/mm]!!
Wenn du die Wahrscheinlichkeit bezüglich des Martingalmaßes ausrechnest, dann ja!
> Es ist doch nicht [mm]\mu[/mm] =r!!!? HIIIILFE!
>
> Wo ist der Haken?
Der Haken besteht darin, dass man sich immer ganz genau klar machen muss, unter welchem Maß man gerade Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte ausrechnet. Ich würde dir wirklich mal empfehlen das Ganze im Zusammenhang (und nicht nur auszugsweise) in einem Finanzmathematikbuch durchzulesen und vorher, als Einstieg (mehr ist es auch nicht), wirklich mal mein komplettes Skript. Dann werden dir die Dinge wirklich klarer erscheinen.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo nochmal - für diese Frage zum letzten Mal! 
Das "leider doch nicht" bezog sich darauf, dass ich es leider doch nicht verstanden habe. Aber jetzt schon! Zumindest soweit, dass ich mich mit meinem Wissen zufrieden gebe. Und das reicht dann schon!
Ich danke dir wirklich so sehr!!!
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