Geometrisch verteilt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Lysin |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass Y=[X+1] mit [mm] X~E_1_/_\alpha [/mm] geometrisch verteilt ist und bestimmen Sie den Parameter. Dabei bezeichne [.] die gauß-Klammer. |
Hallo zusammen,
Also bei dieser Aufgabe meine ich schon zu wissen, was ich zu tun habe, aber ich komme irgendwie nicht so richtig auf das Ergebnis.
Also was ich tun muss:
Die Dichtefunktion von Y bestimmen und von dieser sollten man dann darauf schließen können, dass es sich um eine geometrische Verteilung handelt.
Verwende zunächst den Transformationssatz für Dichten:
Zunächst ist die Dichte der Exponentialverteilung
[mm] p(t)=\bruch{1}{a}e^{-\bruch{t}{a}}
[/mm]
mit [mm] a=1/\lambda
[/mm]
[mm] p(t)=\lambda*e^{-t*\lambda}
[/mm]
Transformationssatz:
[mm] p^T(y)= \bruch{p(T^{-1}(y)}{T'(T^{-1}(y))}
[/mm]
[mm] T^{-1}=[y]-1
[/mm]
T'(y)=1
[mm] T'(T^{-1}(y))=1
[/mm]
also
[mm] p^T(y)=\lambda*e^{-([y]-1)\lambda}
[/mm]
hmm und hier weiß ich nicht so richtig weiter...Hab ich das überhaupt soweit richtig gemacht?
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße
Lysin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mi 24.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Lysin,
Moin,
die geometrische Verteilung ist diskret, und ich sehe nicht, wie du das
umsetzt.
$X+1_$ nimmt Werte an in [mm] $(1,\infty)$, [/mm] so dass $Y_$ durch die
Gaussklammer Werte $y=1,2,3,...$ annimmt.
Es ist [mm] $P(Y=y)=P(y\le [/mm] X<y+1)$ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Lysin |
Hallo Luis,
> die geometrische Verteilung ist diskret, und ich sehe
> nicht, wie du das
> umsetzt.
>
> [mm]X+1_[/mm] nimmt Werte an in [mm](1,\infty)[/mm], so dass [mm]Y_[/mm] durch die
> Gaussklammer Werte [mm]y=1,2,3,...[/mm] annimmt.
>
> Es ist [mm]P(Y=y)=P(y\le X
Ich bin gerade etwas verwirrt. Ich habe gedacht, es müsste so funktionieren, dass zunächst der Transformationssatz angewendet wird, die Dichtefunktion bestimmt und dann müsste herauskommen, dass es sich um eine geometrische vberteilung handelt. Das Problem hier ist, dass Y=[X+1] nicht stetig ist und deswegen nicht abgeleitet werden kann???
Ich verstehe nicht so ganz wie du an die Aufgabe jetzt herangehst und würde mich freuen, wenn du mir das vielleicht etwas geauer erklären könntest  , da ich auch Probleme mit den Notationen habe :-/
Danke schonmal für die Hilfe.
Liebe Grüße
Lysin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Fr 26.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ich verstehe nicht so ganz wie du an die Aufgabe jetzt
> herangehst und würde mich freuen, wenn du mir das
> vielleicht etwas geauer erklären könntest , da ich
> auch Probleme mit den Notationen habe :-/
>
Moin,
ich unterstelle, dass in $X_$ exponentialverteilt ist. Dann kann $X_$ nur
Werte [mm] $\ge0$ [/mm] annehmen. Ueberlege dir einmal folgende Faelle:
$X=0.735 [mm] \Rightarrow [/mm] Y=[0.735+1]=[1.735]=1$,
[mm] $X=4711.23\Rightarrow [/mm] Y=[4711.23+1]=[4712.23]=4712$,
[mm] $X=\pi\Rightarrow Y=[\pi+1]=4$ [/mm] usw.
Umgekehrt nimmt $Y_$ den Wert [mm] 1,2,3,\dots [/mm] an, wenn $X_$
einen Wert annimmt in [0,1), [1,2), [2,3), ..., so dass
[mm] $P(Y=y)=P(y-1\le [/mm] X<y)$ fuer [mm] $y=1,2,3,\dots$. [/mm] Letztere Wahrscheinlichkeit kannst du angeben, weil du weisst, das $X_$ exponentialverteilt ist.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Lysin |
Hi Luis,
> ich unterstelle, dass in [mm]X_[/mm] exponentialverteilt ist. Dann
> kann [mm]X_[/mm] nur
> Werte [mm]\ge0[/mm] annehmen. Ueberlege dir einmal folgende
> Faelle:
>
> [mm]X=0.735 \Rightarrow Y=[0.735+1]=[1.735]=1[/mm],
> [mm]X=4711.23\Rightarrow Y=[4711.23+1]=[4712.23]=4712[/mm],
> [mm]X=\pi\Rightarrow Y=[\pi+1]=4[/mm] usw.
>
> Umgekehrt nimmt [mm]Y_[/mm] den Wert [mm]1,2,3,\dots[/mm] an, wenn [mm]X_[/mm]
> einen Wert annimmt in [0,1), [1,2), [2,3), ..., so dass
> [mm]P(Y=y)=P(y-1\le X
> Wahrscheinlichkeit kannst du angeben, weil du weisst, das
> [mm]X_[/mm] exponentialverteilt ist.
Was du versucht hast mir zu erklären, habe ich soweit verstanden (hoffentlich) nur leider stehe ich immer noch vor einer Wand :-(#
Wie kann ich denn jetzt die Wahrscheinlichkeit angeben? Mit dem Integral über die Dichte der Exponentialverteilung?
Sorry ich blicke es nicht...;(
Danke für deine Hilfe!
Lysin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Fr 26.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Wie kann ich denn jetzt die Wahrscheinlichkeit angeben?
> Mit dem Integral über die Dichte der
> Exponentialverteilung?
Genau. Und das Integral wird man sogar los. ![[]](/images/popup.gif) Da schau her, Verteilungsfunktion.
> Danke für deine Hilfe!
Gerne.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Lysin |
Hallo Luis,
Also irgendwie weiß ich immer noch nicht so richtig ob ich einem Ergebnis nahe komme ;(
Also habe das Integral der Dichte der Exponentialverteilung von y-1 bis y (wobei ich nicht ob das richtig ist) abgeleitet:
Also
[mm] \bruch{d}{dy} (\integral_{y-1}^{^y}{p(x) dx})
[/mm]
= [mm] \bruch{d}{dy} [/mm] (P(y)-P(y-1))
= p(y)-p(y-1)
= [mm] \lambda e^-^\lambda^y-\lambda e^-^\lambda^{(y-1)}
[/mm]
= [mm] \lambda (e^-^\lambda^y-e^-^\lambda^{(y-1)})
[/mm]
= [mm] \lambda e^-^\lambda^y [/mm] (1-e)
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Die geom. Verteilung sieht ja so aus:
[mm] P(X=k)=p(1-p)^{k-1}
[/mm]
Wie bringe ich das jetzt zusammen?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Liebe Grüße
Lysin
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Um die Verteilung von Y zu bestimmen musst du das Integral ausrechnen ,nicht ableiten. Du erhälst dann [mm] -e^{- \lambda*y}+e^{- \lambda*(y-1)}
[/mm]
Dann musst du nur noch ein bisschen Umformen und p geschickt wählen
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