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N'Abend.
Wie kann mir die Substitiutionsformeln merken ?Läuft unter ,,Generalsubstitution" Repi S.297 (Beispiel 13.30)
t=tan(x/2) =>dx= [mm] \bruch{2}{1+t²}dt
[/mm]
sin(x) = [mm] \bruch{2t}{1+t²} [/mm] und [mm] cos(x)=\bruch{1-t²}{1+t²} [/mm] ?
eine Aufgabe dazu an der ich gerade knabbere :
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{sin²x+sinx}{cos²x+cosx} dx} [/mm] mit den oberen Substitutionen sollte sich ergeben :
[mm] 2*\integral_{}^{}{\bruch{t³+2t²+t}{(1-t)(1+t)(1+t²)} dt} [/mm] ich komme aber nicht auf den Nenner.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{4t²+2t(1+t²)}{(1+t²)²}}{\bruch{1-2t²+t^{4}+1-t^{4}}{(1+t²)²}} dt}
[/mm]
[mm] =>2*\integral_{}^{}{\bruch{t³+2t²+t}{-2t²+2} dt}
[/mm]
Kann das jemand erklären ? ( wie man auf cos(x) = ? und sin(x)=? sowie auf diese Form des Integrals)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:40 So 10.02.2008 | | Autor: | MacChevap |
Ich versuche gerade herzuleiten, wie man sinh(x) und cosh(x) substituiert.
Aber irgendwo scheine ich zu scheitern.
sinh(x)= [mm] \bruch{ e^{x} - e^{-x} }{2}
[/mm]
[mm] cosh(x)=\bruch{ e^{x} + e^{-x} }{2}
[/mm]
[mm] e^{x}=t
[/mm]
[mm] dx*e^{x}=dt
[/mm]
=> dt= t*dx
<=> dx= [mm] \bruch{dt}{t}
[/mm]
mein Ansatz :
[mm] cosh(x)=\bruch{t-\bruch{1}{t}}{2}=\bruch{t²-1}{2t} [/mm] // ich habe einfach [mm] e^{x}=:t [/mm] substitutiert
[mm] dx*sinh(x)=\bruch{2t*2t-(t²-1)²}{4t²}dt=\bruch{4t²-2t²-2}{4t²}dt=\bruch{t²-1}{2t²}dt
[/mm]
wenn ich jetzt für dt= t*dx einsetze komme ich auf
[mm] sinh(x)=\bruch{t²-1}{2t} [/mm] <- was stimmt aber, für cosh(x), wo ist der Fehler ?
Für cosh(x) bekomme ich, das was ich für sinh(x) rausbekommen sollte.
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Hallo MacChevap,
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> sinh(x)= [mm]\bruch{ e^{x} - e^{-x} }{2}[/mm]
>
> [mm]cosh(x)=\bruch{ e^{x} + e^{x} }{2}[/mm]
> mein Ansatz :
>
> [mm]cosh(x)=\bruch{t-\bruch{1}{t}}{2}=\bruch{t²-1}{2t}[/mm] //
> ich habe einfach [mm]e^{x}=:t[/mm] substitutiert
>
Das sollte wohl [mm]cosh(x)=\bruch{t+\bruch{1}{t}}{2}[/mm] heißen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 So 10.02.2008 | | Autor: | MacChevap |
Hallo MathePower ;)
Du hast Recht ich habe mich verschrieben.
sinh(x) = [mm] \bruch{t²+1}{2t} [/mm] <- so stimmt's aber immernoch nicht hmmm ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 So 10.02.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo MacChevap,
> Hallo MathePower ;)
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> Du hast Recht ich habe mich verschrieben.
>
>
> sinh(x) = [mm]\bruch{t²+1}{2t}[/mm] <- so stimmt's aber immernoch
> nicht hmmm ?
Es ist:
[mm]\sinh \left ( x \right ) = \bruch{t - \bruch{1}{t}}{2}[/mm]
[mm]\cosh \left ( x \right ) = \bruch{t + \bruch{1}{t}}{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo MacChevap!
Warum wendest Du für die Stammfunktion des [mm] $\sinh(x)$ [/mm] überhaupt das Verfahren der Substitution an?
Druch Anwendung der Definition $f(x) \ = \ [mm] \sinh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x-e^{-x}\right)$ [/mm] kannst du die stammfunktion doch direkt bestimmen mit:
$$F(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x-\bruch{e^{-x}}{-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right) [/mm] \ =: \ [mm] \cosh(x)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo MacChevap,
> N'Abend.
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> Wie kann mir die Substitiutionsformeln merken ?Läuft unter
> ,,Generalsubstitution" Repi S.297 (Beispiel 13.30)
>
> t=tan(x/2) =>dx= [mm]\bruch{2}{1+t²}dt[/mm]
>
> sin(x) = [mm]\bruch{2t}{1+t²}[/mm] und [mm]cos(x)=\bruch{1-t²}{1+t²}[/mm] ?
> Kann das jemand erklären ? ( wie man auf cos(x) = ? und
> sin(x)=? sowie auf diese Form des Integrals)
>
>
zu diesem Zweck stellt man erstmal den [mm]\sin \left ( x \right )[/mm] und [mm]\cos \left ( x \right )[/mm] mit Hilfe von [mm]\tan \left ( x \right )[/mm] dar.
Laut Mathebank gilt:
[mm]\tan \left ( x \right )=\bruch{\sin \left ( x \right )}{\cos \left ( x \right )}[/mm]
Quadriert man diese Gleichung und setzt [mm]\sin^{2} \left ( x \right )=1-\cos^{2} \left ( x \right )[/mm] bzw. im anderen Fall [mm]{\cos^{2}\left ( x \right )=1-\sin^{2}\left ( x \right )}[/mm] so folgt nach einer kurzen Rechnung:
[mm]{\sin^{2} \left ( x \right )=\bruch{\tan^{2} \left ( x \right )}{1+\tan^{2} \left ( x \right )}[/mm] bzw. [mm]{\cos^{2} \left ( x \right )=\bruch{1}{1+\tan^{2} \left ( x \right )}[/mm]
Nun ist die Frage, was für [mm]\tan \left ( 2 \arctan \left ( t \right ) \right )[/mm] gilt.
Laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gilt:
[mm]\tan \left ( 2 \arctan \left ( t \right ) \right )=\bruch{2 \tan \left ( \arctan \left ( t \right ) \right )}{1-tan^{2} \left ( \arctan \left ( t \right ) \right )}=\bruch{2t}{1-t^2}[/mm]
Setzt Du nun diese Formel in [mm]\sin^{2}=\dots[/mm] bzw. [mm]\cos^{2}=\dots[/mm] ein und ziehst daraus die Wurzel, so bekommst Du die angegebenen Formeln.
Gruß
MathePower
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Hallo MacChevap,
> [mm]=>2*\integral_{}^{}{\bruch{t³+2t²+t}{-2t²+2} dt}[/mm]
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> Kann das jemand erklären ? ( wie man auf cos(x) = ? und
> sin(x)=? sowie auf diese Form des Integrals)
Im Integranden [mm]\bruch{t³+2t²+t}{-2t²+2}[/mm] kann noch einiges gekürzt werden. Zerlege dazu Zähler und Nenner des Integranden in seine Linearfaktoren.
Gruß
MathePower
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$ [mm] 2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t³+2t²+t}{(1-t)(1+t)(1+t²)} dt} [/mm] $
$ [mm] =>2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t³+2t²+t}{-2t²+2} dt} [/mm] $
der Unterschied dieser 2 ist der Nenner und der ist nicht gleich, da komme ich auch mit Linearfaktorzerlegung auf keinen grünen Zweig
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Hallo MacChevap,
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> [mm]=>2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t³+2t²+t}{-2t²+2} dt}[/mm]
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> der Unterschied dieser 2 ist der Nenner und der ist nicht
> gleich, da komme ich auch mit Linearfaktorzerlegung auf
> keinen grünen Zweig
>
Das ist doch so einfach:
[mm]t^3+2t^2+2=t \ \left ( t^2+2t+1 \right ) = t \ {\left (t+1 \right ) }^2[/mm]
[mm]-2t^2+2=2 \ \left ( 1 - t^2 \right ) = 2 \left ( 1 - t \right ) \ \left ( 1 + t \right )[/mm]
Und die 2 vor dem Integral hebt sich mit der 2 im Nenner des Integranden auf.
Nun solltest auf das kommen, was da in der Lösung steht.
Gruß
MathePower
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