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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Di 24.03.2009 | | Autor: | ggg |
Hallo,
ich hänge gerade in einer Aufgabe. Die Stammfunktion von
[mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx} [/mm] ist doch [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}=ln|tan^{2}(\bruch{x}{2})|+C. [/mm]
Ich wollte die Stammfunktion mit [mm] sin(x)=\bruch{2z}{1+z²}
[/mm]
und [mm] cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²}, [/mm] wobei [mm] z=tan(\bruch{x}{2})\Rightarrow dx=\bruch{2dz}{1+z²}
[/mm]
Meine Rechnung sieht so aus:
[mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}
[/mm]
Ich habe [mm] cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²} [/mm] mit u substituiert,also gilt u:= [mm] cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²}, [/mm]
und somit
[mm] =\integral \bruch{1+z²}{1-z²}\*\bruch{du}{1+z²}==\integral \bruch{1}{1-z²}\*\bruch{du}{1} [/mm] da ja laut den trigonometrischen Pythagoras 1-z²=sin²(x) ist, gilt dann:
[mm] \integral {\bruch{1}{sin²(x)} dx},
[/mm]
da ja [mm] \frac{1}{\sin²(x)}=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{1}{\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan²\left(\frac{x}{2}\right)}\right] [/mm] wird dann aus
[mm] \integral {\bruch{1}{sin²(x)} }= \frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan²\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx} [/mm]
Anschließend habe ich noch eine Substitution durchgeführt
mit [mm] h:=tan(\bruch{x}{2}), [/mm] sodass sich ergibt [mm] dh\*cos^{4}(\bruch{x}{2})=dx,
[/mm]
also
[mm] \frac{1}{2}\int{\frac{1}{\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\{\tan²\left(\frac{x}{2}\right)}} \ \dx}=\integral{\bruch{1}{cos^{4}(\bruch{x}{2})}\* \bruch{dh\*cos^{4}(\bruch{x}{2})}{h²}dx} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{dh}{h²} }=ln|h²|+C=ln|tan²(\bruch{x}{2})|+C
[/mm]
Ist das so richtig? Das wäre echt nice für eine Antwort
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Also ich habe die probe gemacht und deine Stammfunktion abgeleitet und dann müsste ja 1/cos herauskommen, ich habe da 2/sinx herausbekommen.
es kann allerdings sein, dass ich einen rechenfehler gemacht habe.
glg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 24.03.2009 | | Autor: | ggg |
Laut meiner Formelsammlung ist die Ableitung von tan(x) gleich 1/cos²(x) also denk ich das es mit dem sinus nicht stimmen kann.
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Hallo ggg,
> Laut meiner Formelsammlung ist die Ableitung von tan(x)
> gleich 1/cos²(x) also denk ich das es mit dem sinus nicht
> stimmen kann.
Doch das stimmt:
Beachte [mm] $\left[\ln\left(\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right]'=\frac{1}{\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}2\cdot{}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{2}{\sin(x)}$ [/mm] nach dem Halbwinkelsatz (Additionstheorem)
Deine Stammfunktion von oben ist also nicht richtig
LG
schachuzipus
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> Hallo,
> ich hänge gerade in einer Aufgabe. Die Stammfunktion von
> [mm]\integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}[/mm] ist doch [mm]\integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}=ln|tan^{2}(\bruch{x}{2})|+C.[/mm]
> Ich wollte die Stammfunktion mit [mm]sin(x)=\bruch{2z}{1+z²}[/mm]
> und [mm]cos(x)=\bruch{1-z²}{1+z²},[/mm] wobei
> [mm]z=tan(\bruch{x}{2})\Rightarrow dx=\bruch{2dz}{1+z²}[/mm]
Warum machst Du Dir eigentlich soviel Arbeit mit diesem Integral? Substituiere doch einfach [mm] $z=\sin(x)$, [/mm] dann erhältst Du das Integral [mm] $\int \frac{1}{1-z^2}\,dz$. [/mm] Partialbruchzerlegung, integrieren und [mm] $\sin(x)$ [/mm] für $z$ einsetzen: fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:48 Mi 25.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für den Tipp.
Ich wird es gleich mal mit Partialbruchzerlegung ausprobieren, ansonsten kann nicht in Ruhe einschlafen
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