Gekoppelter Schwingkreis < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Resonanzfrequenzen für zwei kapazitiv gekoppelte, gleichartige Schwingkreise mit Induktivität L=1mH und Kapazität C=1nF für den verlustfreien Fall ( d.h. ohmscher Widerstand R=0). Leiten Sie dazu einen Ausdruck für die Resonanzfrequenzen aus den gekoppelten Differentialgleichungen her und bestimmen Sie die beiden Frequenzen. Die kapazitive Kopplung sei [mm] C_k=20nF. [/mm] |
Hallo!
Ich habe mir ein paar Gedanken gemacht und weiß nur nicht, ob das wirklich so funktioniert...
Diese Schaltung habe ich mir überlegt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann müsste gelten:
[mm] I_1 [/mm] - [mm] I_2 [/mm] = [mm] I_k
[/mm]
[mm] U_{1,C} [/mm] + [mm] U_{1,L} [/mm] + [mm] U_{k} [/mm] = 0
[mm] U_{2,C} [/mm] + [mm] U_{2,L} [/mm] + [mm] U_{k} [/mm] = 0
mit
[mm] U_{C}=\bruch{1}{C}\integral_{}^{}{I dt} [/mm] und [mm] U_L=L*\bruch{dI}{dt} [/mm]
Dann komme ich nach ein paar Umformungen auf
[mm] L\bruch{d^2}{dt^2}(I_1-I_2) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{C}+\bruch{2}{C_k})(I_1-I_2) [/mm] = 0
das müsste so richitg sein, oder?
Jetzt soll ich daraus die Resonanzfrequenz bestimmen.
Ich setze [mm] (I_1-I_2)(t) [/mm] = [mm] I_G(t) [/mm] und erhalte die Differentialgleichung:
[mm] L\bruch{d^2}{dt^2}I_G [/mm] + [mm] A*I_G [/mm] = 0 mit [mm] A=\bruch{1}{C}+\bruch{2}{C_k}
[/mm]
Die kann ich dann mit dem Exponentialansatz lösen [mm] I_G(t)=exp(a*t) [/mm] ; [mm] \bruch{d}{dt}I_G=a*exp(a*t) [/mm] ; [mm] \bruch{d^2}{dt^2}I_G [/mm] = [mm] a^2*exp(a*t)
[/mm]
Dann erhalte ich nach Einsetzen: [mm] a^2=\wurzel{-\bruch{A}{L}} [/mm] also [mm] a=-i\wurzel{\bruch{A}{L}} [/mm]
Nach Einsetzten der Werte für C, [mm] C_k [/mm] und L erhalte ich somit:
[mm] a_1=-1.048*10^6*i [/mm] und [mm] a_2=1.048*10^6*i
[/mm]
Die Lösungen sind also:
[mm] (I_1-I_2)(t)=exp(-1.048*10^6*i*t) [/mm] = [mm] cos(-1.048*10^6*t) +i*sin(-1.048*10^6*t) [/mm] und
[mm] (I_1-I_2)(t)=exp(1.048*10^6*i*t) [/mm] = [mm] cos(1.048*10^6*t) +i*sin(1.048*10^6*t)
[/mm]
Also sind meine Resonanzfrequenzen:
[mm] \omega_1=1.048*10^6s^{-1}
[/mm]
[mm] \omega_2=-1.048*10^6s^{-1}
[/mm]
Ist das so richtig???
Herzlichen Dank!!
Beste Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 So 06.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, du solltest 2 (gekoppelte) Dgl haben, und damit 2 Eigenfrequenzen, die 2 können in gleicher Richtung schwingen, Ck spielt dann keine Rille oder gegeneinander, vergleiche mal mit gekoppelten Pendeln, L entspricht der Masse, C den Federn.
eine negative Frequenz soll wohl was sein?
Ausserdem erwartet man eine reelle Lösung!
Gruß leduart
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