Geeignete Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 So 19.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Lösen sie folgende DGL mit Hilfe einer geeigneten Substitution.
y'+1=4 [mm] e^{-y}sinx [/mm] |
Hallo zusammen,
brauche eure Hilfe bei einem Zwischenschritt.
Meine Substitution lautet z(x):= [mm] e^{-y} \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] y'=- [mm] \bruch{z'}{z}
[/mm]
Also: 0=z'+(-z)+4sin(x) [mm] z^{2} [/mm] (Bernoulli-DGL)
Hier dividiere ich nun zunächst durch [mm] z^{2} [/mm] und dann substituiere ich u(x):=-z [mm] z^{-2} \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] z' [mm] z^{-2}=-u'
[/mm]
Also: 4sin(x)=u'+(-u) (inhomogene DGL)
Meine homogene Lösung: [mm] u_{hom}=c e^{x} [/mm] (c [mm] \in \IR)
[/mm]
Bei der partikulären Lösung tritt nun mein Problem auf. Ich setze für das c aus [mm] u_{hom} [/mm] die unbekannte Funktion c(x) ein.
Dann: [mm] u_{p}=c(x) e^{x} \Rightarrow u_{p}'=c'(x) e^{x}+c(x) e^{x}
[/mm]
Schließlich: c'(x)= [mm] \bruch{4sin(x)}{ e^{x}} \Rightarrow [/mm] c(x)=4 [mm] \integral_{ }^{ }{ \bruch{sin(x)}{ e^{x}} dx} [/mm] + d (d [mm] \in \IR)
[/mm]
Mein eigentliches Problem liegt nun bei dieser Integration. Glaube ich zumindest. Oder ist mir vorher schon ein Fehler unterlaufen?
Danke schon mal, Grüße Patrick
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[mm]u' + u = 4 \sin{x}[/mm]
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