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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:24 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
1.) Ist V ein n- dimensionaler euklidischer Vektorraum, dann gilt
[mm] dim_{\IR} \{f \in L(V,V) | f = f^{ad}\}= \bruch{n(n+1)}{2}.
[/mm]
2.) Ist V ein n- dimensionaler unitärer Vektorraum, dann gilt
[mm] dim_{\IR} \{f \in L(V,V) | f = f^{ad}\} [/mm] = [mm] n^{2}
[/mm]
Hinweis: Geeignete Matrixdarstellung. |
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Guten Morgen =),
wir müssen diese Hausaufgabe morgen abgeben und ich würde mich über eine Kontrolle dieser 2 Aufgaben sehr freuen.
1.) Sei V ein n- dimensionaler euklidischer Vektorraum. Die Menge der Abbildungen A:= f(V,V) mit f = [mm] f^{ad} [/mm] entspricht der Menge der selbstadjungierten Abbildungen. Sei nun B:= [mm] u_{1}, [/mm] ... , [mm] u_{n} [/mm] eine gegebene Orthogonalbasis von V, die jeder endlichdimensionale Vektorraum besitzen muss. So ist A die Menge der darstellenden Matrizen bezüglich B, die symmetrische Matrizen sind, d.h. es muss gelten: [mm] [f]_{BxB} [/mm] = [mm] ([f^{ad}]_{BxB})^{T} [/mm] = [mm] ([f]_{BxB})^{T} [/mm] , da f = [mm] f^{ad}. [/mm] Somit sind die Diagonalelemente und die obere Hälfte der Matrix frei wählbar. Der Rest ergibt sich aus der Symmetrie. Also folgt: dim = n + [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] = n + [mm] \bruch{n^{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{n}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
2.) Sei V nun ein n-dimensionaler unitärer Vektorraum. Sei nun B wieder eine Orthogonalbasis von V. Nun müssen die darstellenden Matrizen von f gleich ihren hermiteschen sein. Also: [mm] [f]_{BxB} [/mm] = [mm] ([f]_{BxB})^{H}. [/mm] Daraus folgt, dass die Diagonaleinträge reellwertig sein müssen. Somit gibt es n Möglichkeiten diese zu wählen. Weiter betrachtet man jeweils [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] Möglichkeiten jeweils für den Real - bzw. Imaginärteil.
Also: dim= n + [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] = n + [mm] \bruch{n^{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{n}{2} [/mm] = n - n + 2 * [mm] \bruch{n^{2}}{2} [/mm] = [mm] n^{2}
[/mm]
Ich hoffe , dass das alles so stimmt.
LG Richler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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