Gedämpftes Pendel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein gedämpftes Pendel wird durch die DGL [mm] \nu''=-b \cdot sin(\nu) [/mm] - [mm] a\nu' [/mm] mit a,b>0 reell dargestellt.
1) Konstruieren Sie eine geeignete Energiefunktion mit [mm] \nu'(t) \rightarrow [/mm] 0 für t [mm] \rightarrow \infty [/mm] und für n [mm] \in \IZ [/mm] soll [mm] \nu(t) \rightarrow n\pi [/mm]
2) Geben Sie eine physikalische Erklärung dafür ab, warum Sie erwarten würden, dass n eine ganze Zahl ist. |
Hallo erstmal,
bei dieser Aufgabe handelt es sich um keine Hausaufgabe. Ich versuche sie zu lösen, weil ich mich in der letzen Zeit als Nicht-Physiker an einige Physikbücher getraut habe und dann im Internet nach Aufgaben suche um diese zu rechnen.
Mein Problem beginnt schon beim Lösen der Differentialgleichung. Da ich in einem niedrigen Semester bin und mich in der Uni noch nicht mit Differentialgleichungen beschäftigt habe kann ich nur einfache DGLs lösen, diese scheint jedoch etwas komplizierter zu sein...
Bei 2 hätte ich garnicht garnicht an die Existenz dieser Zahl gedacht wodurch ich hier auch keinen blassen Schimmer habe (was insgesamt sehr Traurig ist).
Würde mich über die Lösung der Aufgabe sehr freuen, vllt. kann ich die Lösung auch einigermaßen nachvollziehen und um zu schauen was ich nicht verstanden habe.
LG
Bruesegal
Die Orginalaufgabe steht hier:
http://books.google.de/books?id=EJVsiaK8WOsC&pg=PA95&lpg=PA95&dq=%22Consider+a+damped+pendulum+governed+by+the+equation%22&source=bl&ots=8D3aY8T1XA&sig=47FFH0D-FEGhnNtE661Lw7WO9wc&hl=de&ei=ytjWTLz6CpHsOZW9uaoJ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&sqi=2&ved=0CBsQ6AEwAA#v=onepage&q=%22Consider%20a%20damped%20pendulum%20governed%20by%20the%20equation%22&f=false
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 So 07.11.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich glaube nicht, dass du die DGL loesen sollst (das geht auch nicht ohne weiteres aufgrund des [mm] $\sin\nu$-Termes.)
[/mm]
Das einzige, was man wohl machen soll, ist, eine Energiefunktion aufzustellen, die von [mm] $\nu(t)$ [/mm] abhaengt. Dann kann man [mm] $\dot{E}$ [/mm] hinschreiben, und dann die DGL fuer [mm] $\dot{\nu}$ [/mm] einsetzen. Dann heben sich ein paar Terme weg, und man kann zeigen, dass [mm] $\dot{E} [/mm] < 0$.
Wenn du dir das Pendel vorstellst, das ja durch den Pendelwinkel [mm] $\nu$ [/mm] beschrieben wird, dann wuerdest du ja erwarten, dass das Pendel in einer 'Ruhelage' ist. Damit kannst du dann begruenden, was du fuer [mm] $\nu$ [/mm] erwarten wuerdest (die Energie sollte zB minimal werden).
LG
Kroni
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Hi
erstmal vielen Dank für die Antwort bin beruhigt, dass ich jetzt die komplizierte DGL nicht lösen muss, aber so richtig wie ich anfangen soll weiß ich ehrlich gesagt jetzt nicht so richtig. Könntest du mir eventuell einen Ansatz geben, um die Aufgabe zu lösen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 07.11.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
die erste Frage ist, wie denn die Gesamtenergie des Systems ausschaut.
Das ist dann die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie.
Die kin. Energie ist [mm] $T=\frac{1}{2}mv^2$. [/mm] Jetzt musst du nur noch $v$ in Abhaengigkeit von [mm] $\nu$ [/mm] ausdruecken (Tipp: Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten, wobei $r$ konstant ist).
Die potentielle Energie ist $V = mgh$. Jetzt musst du nur noch die Hoehe des Massenpunktes $h$ ueber der 'Ruhelage' durch [mm] $\nu$ [/mm] ausdruecken (das geht wohl mit nem [mm] $\cos\nu [/mm] = [mm] \lodts$.
[/mm]
Dann einfach
$E = T + V$
Dann kannst du
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [/mm] E$ berechnen, und da dann die Bewegungsgleichung (EOM fuer Equation of Motion) in [mm] $\dot{E}$ [/mm] einsetzen, und dann zeigen, dass [mm] $\dot{E} [/mm] < 0$ ist. Denn damit kann man zeigen, dass das System Energie verliert.
LG
Kroni
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