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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Di 14.08.2012 | | Autor: | Kuriger |
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Leuten mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben?
Ich rechne nun mal die Anzahl Möglichkeiten, dass unter 10 Leute jeder an einem anderen Tag Geburtstag hat.
.Dies ist doch eine "Kombination"? Reihenfolge ist egal,
Doch wie kann ich das berechnen? Ich dachte so: [mm] \vektor{365 \\ 10} [/mm] = 1.0213 * [mm] 10^{19}
[/mm]
Ist doch das gleiche wie beim Lotto spielen, wo ich aus 45 Zahlen 6 nehmen muss, dort gibt es dann [mm] \vektor{45 \\ 6} [/mm] = 8145060 Möglichkeiten
Und dann die Anzahl möglichen Geburtstagskombinationen (Kombination mit Wiedehrolung)
[mm] \vektor{365 + 10 -1\\ 10} [/mm] = 1.3069* [mm] 10^{19}
[/mm]
Das heisst, die Wahrscheinlichkeit, dass alle an einem anderen Tag Geburtstag haben ist: 1.0213 * [mm] 10^{19} [/mm] : 1.3069* [mm] 10^{19} [/mm] = 0.781
Und entsprechend die Gegenwahrscheinlichkeit 1 - 0.781 = 0.219
Aber ja stimmt wohl nicht
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Hallo,
> Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Leuten
> mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben?
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> Ich rechne nun mal die Anzahl Möglichkeiten, dass unter 10
> Leute jeder an einem anderen Tag Geburtstag hat.
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> .Dies ist doch eine "Kombination"? Reihenfolge ist egal,
> Doch wie kann ich das berechnen? Ich dachte so: [mm]\vektor{365 \\ 10}[/mm]
> = 1.0213 * [mm]10^{19}[/mm]
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> Ist doch das gleiche wie beim Lotto spielen, wo ich aus 45
> Zahlen 6 nehmen muss, dort gibt es dann [mm]\vektor{45 \\ 6}[/mm] =
> 8145060 Möglichkeiten
>
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> Und dann die Anzahl möglichen Geburtstagskombinationen
> (Kombination mit Wiedehrolung)
> [mm]\vektor{365 + 10 -1\\ 10}[/mm] = 1.3069* [mm]10^{19}[/mm]
> Das heisst, die Wahrscheinlichkeit, dass alle an einem
> anderen Tag Geburtstag haben ist: 1.0213 * [mm]10^{19}[/mm] :
> 1.3069* [mm]10^{19}[/mm] = 0.781
>
> Und entsprechend die Gegenwahrscheinlichkeit 1 - 0.781 =
> 0.219
>
> Aber ja stimmt wohl nicht
>
Gut erkannt^^. Also das Problem ist folgendes: Bei deiner Formel ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit Wiederholung sind nicht alle Möglichkeiten automatisch auch gleich wahrscheinlich. Ich machs dir anhand deines Beispiels mit Lotto 6 aus 45 mit Zurücklegen klar: Da gäb es unter den Möglichkeiten eine bei der 6-mal die Zahl 1 gezogen wird, aber genauso auch eine bei der die Zahlen 1,2,3,4,5 und 6 gezogen werden. Letzteres kann aber auf verschiedene Arten erfolgen, zum Beispiel könnte hier auch die Ziehung lauten 6,3,4,5,2,1 und somit gibts hier insgesamt 6!=720 Möglichkeiten die Zahlen 1,2,3,4,5,6 zu ziehen, aber nur eine Möglichkeit 1,1,1,1,1,1 zu ziehen. Von daher empfiehlt es sich bei dem Geburtstagsproblem stattdessen mit Berücksichtigung der Reihenfolge über das Gegenereignis zu rechnen, so überlegt man sch folgendes:
Jeder der 10 Personen kann an 365 Tagen Geburtstag haben, macht [mm] 365^{10} [/mm] Möglichkeiten. Und die Anzahl Möglichkeiten, dass 10 Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, lautet 365*364*363*...*357*356= [mm] \bruch{365!}{355!} [/mm] ( Für die erste Person kommen 365 Tage in Frage, für die 2. noch 364 usw.)
Den Rest schaffst du alleine.
Viele Grüße
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