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Gebrochenrationale Funktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mi 05.01.2005
Autor: Derrick333

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo alle zusammen!

Ich habe bei der folgenden Funktion Probleme mit Wendestellen und Asymtote.

[mm] \bruch{2*k}{k*e^x+1}, [/mm] k>0

Währe froh wenn mir da jemand helfen könnte
        
Bezug
Gebrochenrationale Funktion: Lösungswege / -ergebnisse?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 05.01.2005
Autor: informix

Hallo Derrick333,
[willkommenmr]

> Hallo alle zusammen!
>  
> Ich habe bei der folgenden Funktion Probleme mit
> Wendestellen und Asymtote.
>  
> [mm]\bruch{2*k}{k*e^x+1},[/mm] k>0
>  

Könntest du uns deine Probleme genauer schildern? Meine Glaskugel hat noch Ferien. ;-)
Am besten zeigst du uns deien Rechnungen, dann können wir gezielt antworten und du lernst mehr dabei.

Und lies bitte mal unsere Forenregeln.
  
Bezug
                
Bezug
Gebrochenrationale Funktion: Rechenweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Mi 05.01.2005
Autor: Derrick333

Also meine 1. Abl sieht so aus
[mm] \bruch{-2*(k^2)*e^x}{(k*e^x+1)^2} [/mm]
die 2. Abl wie folgt:
[mm] \bruch{2(k^2)*(e^x)*(k*(e^x)-1}{(k*(e^x)+1)^3} [/mm]

Meine Frage ist nun sind die Abl. richtig und dann komme bei der Wendestelle nicht weiter.
Bezug
                        
Bezug
Gebrochenrationale Funktion: Ableitungen ok !!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mi 05.01.2005
Autor: Loddar

N'Abend Derrick333!

Na, dann schauen wir mal ...

> Also meine 1. Abl sieht so aus
> [mm]\bruch{-2*(k^2)*e^x}{(k*e^x+1)^2}[/mm]

[daumenhoch]



> die 2. Abl wie folgt:
> [mm]\bruch{2(k^2)*(e^x)*(k*(e^x)-1}{(k*(e^x)+1)^3}[/mm]

[daumenhoch] (Über die unterschlagene Klammer am Ende des Zählers reden wir mal nicht ;-) ).


> Meine Frage ist nun sind die Abl. richtig [applaus]

> und dann komme bei der Wendestelle nicht weiter.

Für die Ermittlung der Wendestellen benötigen wir zunächst die Nullstellen der 2. Ableitung (sog. "notwendiges Kriterium"):
[mm] $f''(x_W) [/mm] = [mm] \bruch{2k^2*e^x*(ke^x-1)}{(ke^x+1)^3} [/mm] = 0$

Bei einem Bruch brauchen wir uns dafür lediglich den Zähler anzusehen:
[mm] $\Rightarrow$ $2k^2*e^x*(ke^x-1) [/mm] = 0$

Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich Null ist:
[mm] $2k^2*e^x [/mm] = 0$  oder  [mm] $ke^x-1 [/mm] = 0$

Kommst Du nun alleine weiter??
Ich habe eine (mögliche) Wendestelle erhalten: [mm] $x_W [/mm] = - ln(k)$
(bitte nachrechnen ...)


Nicht vergessen: für die Wendestellen benötigen wir auch noch die 3. Ableitung [eek] ("hinreichendes Kriterium") !!
Es sei denn, wir weisen die Wendestellen über Vorzeichenwechsel in der 2. Ableitung nach. Das macht sich aber bei Funktionsscharen aber meist nicht ganz so gut ...

Melde Dich doch dann einfach mal mit Deiner 3. Ableitung.


Grüße
Loddar

Bezug
        
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Gebrochenrationale Funktion: Asymptoten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Mi 05.01.2005
Autor: Loddar

Für die Asymptoten müssen wir uns die Grenzwerte der Funktion für $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] betrachten ...  

[mm]f(x) = \bruch{2k}{ke^x+1}[/mm]


[1] [mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{2k}{ke^x+1} [/mm] = [mm] \bruch{2k}{k*0+1} [/mm] = [mm] \bruch{2k}{1} [/mm] = 2k$


[2] [mm] $\limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}\bruch{\bruch{2k}{e^x}}{k+\bruch{1}{e^x}} [/mm] = [mm] \bruch{0}{k+0} [/mm] = 0$


Loddar

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