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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 So 15.02.2009 | | Autor: | SWiSH |
| Aufgabe | Es ist folgende Umformung nachzuweisen:
[mm] f_{-1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{1-x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1-x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{1+x} [/mm] |
Hi,
im Buch ist dafür folgende Lösung angegeben:
[mm] \bruch{2}{1-x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{1+x} [/mm] = [mm] \bruch{2(1+x) + 2(1-x)}{(1-x)(1+x)} [/mm] = [mm] \bruch{2 + 2x + 2 -2x}{1-x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{1-x^{2}}
[/mm]
Es wird also erst erweitert, dann ausmultipliziert und zusammengefasst.
Ich hatte aber den umgekehrten Ansatz probiert, der ja auch möglich sein müsste, aber bei mir nicht funktioniert:
[mm] f_{-1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{1-x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{(1-x) (1+x)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(1-x) (1+x)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(1-x) (1+x)}
[/mm]
Benutze also erst die 3. Binomische Formel im Nenner und mach dann daraus eine Summe. Und dann bekomme aus den Nennern nicht das (1+x) bzw. (1-x) raus.
Kann mich jemand auf meinen Denkfehler aufmerksam machen?
Vielen Dank schonmal
SWiSH
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Hallo SWiSH,
> Es ist folgende Umformung nachzuweisen:
> [mm]f_{-1}[/mm] = [mm]\bruch{4}{1-x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{1-x}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{1+x}[/mm]
> Hi,
>
> im Buch ist dafür folgende Lösung angegeben:
> [mm]\bruch{2}{1-x}[/mm] + [mm]\bruch{2}{1+x}[/mm] = [mm]\bruch{2(1+x) + 2(1-x)}{(1-x)(1+x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{2 + 2x + 2 -2x}{1-x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{4}{1-x^{2}}[/mm]
>
> Es wird also erst erweitert, dann ausmultipliziert und
> zusammengefasst.
> Ich hatte aber den umgekehrten Ansatz probiert, der ja
> auch möglich sein müsste, aber bei mir nicht funktioniert:
> [mm]f_{-1}[/mm] = [mm]\bruch{4}{1-x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{4}{(1-x) (1+x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{(1-x) (1+x)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(1-x) (1+x)}[/mm]
> Benutze
> also erst die 3. Binomische Formel im Nenner und mach dann
> daraus eine Summe. Und dann bekomme aus den Nennern nicht
> das (1+x) bzw. (1-x) raus.
>
> Kann mich jemand auf meinen Denkfehler aufmerksam machen?
Zunächst ist
[mm]\bruch{4}{1-x^{2}}=\bruch{4}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}=\bruch{A}{1-x}+\bruch{B}{1+x}=\bruch{A*\left(1+x\right)+B*\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]4=A*\left(1+x\right)+B*\left(1-x\right)[/mm]
Hier mußt Du dann die unbekannten Koeffizienten A, B bestimmen.
>
> Vielen Dank schonmal
>
> SWiSH
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 15.02.2009 | | Autor: | SWiSH |
O.o Wieso kommen da Buchstaben hin?
Glaube sowas haben wir nicht gemacht. Dann ist wohl die andere Richtung vermutlich einfacher, wie es in der Lösung steht.
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Hallo SWiSH,
> O.o Wieso kommen da Buchstaben hin?
Die Buchstaben stehen für Zahlen, die noch zu ermitteln sind.
>
> Glaube sowas haben wir nicht gemacht. Dann ist wohl die
> andere Richtung vermutlich einfacher, wie es in der Lösung
> steht.
Andererseits kannst Du die 4 auch so zerlegen:
[mm]4=2*2=2*\left(1+x-x+1\right)=2*\left(1+x)+2*\left(1-x\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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