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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 Do 29.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man skizziere die folgenden Gebiete und ihre Bilder unter der komplexen Exponentialfunktion in der komplexen Ebene.
a) [mm] $G_{1}:= \{z \in \IC | -2\pi < Im(z) < -\pi \}$
[/mm]
b) [mm] $G_{2}:= \{z \in \IC | -ln(2) < Re(z) < 0 \}$
[/mm]
c) [mm] $G_{3}:= \{ z\in \IC | -1 < Re(z) < 1, 0 < Im(z) < \frac{\pi}{2}\}$
[/mm]
d) [mm] $G_{4}:= \{z \in \IC | |z-1| < \frac{\pi}{2}\}$ [/mm] |
Hallo!
bei
a) [mm] $G_{1}$ [/mm] ist der horizontale Streifen der eingeschlossen ist durch $Im(z) = - [mm] \pi [/mm] i $ und $Im(z) = [mm] -2\pi [/mm] i$. Der abgebildete Streifen wird beschrieben durch die Fläche oberhalb der x Achse [mm] ($e^{a-\pi i }$ [/mm] und [mm] $e^{a-2\pi i}$. [/mm]
b) [mm] $G_{2}$ [/mm] ist der vertikale Streifen eingeschlossen durch $Re=-log(2)$ und $Re=0$ das Bild ist der Kreisring zwischen [mm] $\frac{1}{2}cis(\phi)$ [/mm] und [mm] $cis(\phi)$
[/mm]
c) [mm] $G_{3}$ [/mm] ist ein Rechteck und wird abgebildet auf den Schnitt des Kreisrings mit innerem Radius $1/e$ und äusserem Radius $e$ mit der Fläche zwischen dem ersten Quadranten.
d) [mm] $G_{4}$ [/mm] ist ein mit dem Zentrum um 1 vom Ursprung auf der Reellen Achse nach links verschobener Kreis mit Radius [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] und wird abgebildet auf ein Kardioid.... ?
Ist das so richtig?
Vielen Dank für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Do 29.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man skizziere die folgenden Gebiete und ihre Bilder unter
> der komplexen Exponentialfunktion in der komplexen Ebene.
>
> a) [mm]G_{1}:= \{z \in \IC | -2\pi < Im(z) < -\pi \}[/mm]
>
> b) [mm]G_{2}:= \{z \in \IC | -ln(2) < Re(z) < 0 \}[/mm]
>
> c) [mm]G_{3}:= \{ z\in \IC | -1 < Re(z) < 1, 0 < Im(z) < \frac{\pi}{2}\}[/mm]
>
> d) [mm]G_{4}:= \{z \in \IC | |z-1| < \frac{\pi}{2}\}[/mm]
> Hallo!
>
>
> bei
>
> a) [mm]G_{1}[/mm] ist der horizontale Streifen der eingeschlossen
> ist durch [mm]Im(z) = - \pi i[/mm] und [mm]Im(z) = -2\pi i[/mm].
Richtig.
> Der
> abgebildete Streifen wird beschrieben durch die Fläche
> oberhalb der x Achse ([mm]e^{a-\pi i }[/mm] und [mm]e^{a-2\pi i}[/mm].
Die Formel ergibt wenig Sinn, aber die Beschreibung ist richtig.
Wenn ich $z=x+iy$ schreibe, dann ist
[mm] \exp(z) = e^x*e^{iy}=e^x\cos y + i e^x \sin y [/mm]
Mit [mm] $-2\pi
> b) [mm]G_{2}[/mm] ist der vertikale Streifen eingeschlossen durch
> [mm]Re=-log(2)[/mm] und [mm]Re=0[/mm] das Bild ist der Kreisring zwischen
> [mm]\frac{1}{2}cis(\phi)[/mm] und [mm]cis(\phi)[/mm]
Im Prinzip richtig: der offene Kreisring (ohne Ränder) mit Innenradius 1/2 und Außenradius 1.
Was ist cis?
> c) [mm]G_{3}[/mm] ist ein Rechteck und wird abgebildet auf den
> Schnitt des Kreisrings mit innerem Radius [mm]1/e[/mm] und äusserem
> Radius [mm]e[/mm] mit der Fläche zwischen dem ersten Quadranten.
Richtig: der offene Viertelkreisring im 1. Quadranten (ohne Rand).
> d) [mm]G_{4}[/mm] ist ein mit dem Zentrum um 1 vom Ursprung auf der
> Reellen Achse nach links verschobener Kreis mit Radius
> [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
Richtig
> und wird abgebildet auf ein Kardioid.... ?
Gute Frage... da die Kreisscheibe vollständig in dem Rechteck [mm] $1\le x<1+\pi/2$, $-\pi/2< y<\pi/2$ [/mm] liegt, muss das Bild vollständig im Halbkreisring (rechte Halbebene) mit Innenradius e und Außenradius [mm] $e^{1+\pi/2}$ [/mm] liegen. Wegen der Bedingung [mm] $(x-1)^2 [/mm] < [mm] \pi/2 -y^2$ [/mm] laufen die Enden spitz auf die Punkte [mm] $\pm [/mm] ie$ zu; ich denke das Ergebnis hat die Form einer Sichel.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Do 29.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Rainer,
> Formel ergibt wenig Sinn
> Was ist cis
[mm] $re^{i \phi} [/mm] = [mm] r(cos\phi [/mm] + i sin [mm] \phi) [/mm] = rcis [mm] \phi [/mm] $
> ich denke das Ergebnis hat die Form einer Sichel
> Viele Grüsse
Vielen Dank fürs Korrigieren und Erklären.
Gruss
kushkush
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