Gebiet holomorph f O(G) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $G\subset \IC$ [/mm] ein Gebiet und sei $f [mm] \in [/mm] O(G)$ Beweise:
a) Ist $f(G) [mm] \subset \IR$ [/mm] , dann ist f konstant.
b) Gilt $|f(z)| = 1 $ für alle [mm] $z\in [/mm] G$, so ist f konstant. |
Hallo!
a) Es ist $f=u+iv$, dann ist [mm] $f'=u_{x}+iv_{x}$ [/mm] mit [mm] $u_{x}=v_{y} [/mm] ; [mm] u_{y}=-v_{x}$ [/mm] Damit gilt:
[mm] $u_{x}(a) [/mm] = [mm] u_{y}(a) [/mm] = 0 , [mm] v_{x}(a)=v_{y}(a)=0 [/mm] \ \ \ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] f(G)$
Damit sind u und v konstant und damit auch f.
b) Gegeben ist $(1): |f(z)|=1, \ [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] O(G)$
Sei $f(z) = u(x,y)+iv(x,y) $. Dann folgt mit (1):
(2): $ [mm] u^{2}+v^{2} [/mm] = 1$
Das partiell ableiten nach x und y:
(3):
[mm] $2u\cdot u_{x}+ 2v\cdot v_{x} [/mm] = 0$
$2u [mm] \cdot u_{y} [/mm] + [mm] 2v\cdot v_{y} [/mm] = 0$
Wegen der Holomorphie von f gelten auch die CauRieDGL:
(4):
$(i): [mm] u_{x} [/mm] = [mm] v_{y}$
[/mm]
$(ii): [mm] u_{y} [/mm] = [mm] -v_{x} [/mm] $
Setzt man (4) in (3) ein folgt :
(5):
[mm] $uu_{x} [/mm] - [mm] vu_{y}=0$
[/mm]
[mm] $uu_{y}+vu_{x}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (uu_{x}-vu_{y})^{2} [/mm] = [mm] u^{2}u_{x}^{2}-2uu_{x}vu_{y}+v^{2}u_{y}^{2}=0$ [/mm] und [mm] $(uu_{y}+vu_{x})^{2}=u^{2}u_{y}^{2}+2uu_{y}vu_{x}+v^{2}u_{x}^{2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (u^{2}+v^{2})(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})=0$
[/mm]
Es ist also entweder $v=u=0$ oder [mm] $u_{x}=u_{y}=0$
[/mm]
Also entweder ist
$f=0$ oder (6): $u= const.$
für den Fall dass $u=const.$ folgt mit $(6) [mm] \rightarrow [/mm] (4)$ auch $v=const.$ und damit $f = const.$
Ist das so in Ordnung?? Wie macht man in Latex dieses geschlitzte O für das Zeichen der Gruppe der holomorphen Funktionen???
Ich bin für jegliche Hilfestellung sehr dankbar!
Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 02.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo!
>
> a) Es ist [mm]f=u+iv[/mm], dann ist [mm]f'=u_{x}+iv_{x}[/mm] mit [mm]u_{x}=v_{y} ; u_{y}=-v_{x}[/mm]
Wieso ist [mm] $f'=u_x+iv_x$? [/mm] Ich glaub' das nicht.
Aber was folgt für $v$ wenn [mm] $f(G)\subset\IR$?
[/mm]
> [mm]\gdw (u^{2}+v^{2})(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})=0[/mm]
>
>
> Es ist also entweder [mm]v=u=0[/mm] oder [mm]u_{x}=u_{y}=0[/mm]
> Also entweder ist
> [mm]f=0[/mm] oder (6): [mm]u= const.[/mm]
Der Schluß stimmt nicht. Es folgt nur $f(z)=0$ oder [mm] $u_x(x, y)=u_y(x, [/mm] y)$ für jedes $z=x+i*y$. Es kann also ein $z$ geben mit $f(z) [mm] \ne [/mm] 0$ und [mm] $u_x(x, y)=u_y(x, [/mm] y)$. Aus "jeder Mensch ist ein Mann oder eine Frau" folgt ja auch nicht "alle Menschen sind Männer oder alle Menschen sind Frauen".
> geschlitzte O für das Zeichen der Gruppe der holomorphen
> Funktionen???
Vielleicht [mm] $s\cal [/mm] O$?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Wolfgang,
> was folgt für v
$v=0$
>
> vielleicht [mm] s\calO
[/mm]
[mm] $\mathcal{O} [/mm] k$!
> Grüsse Wolfgang
Vielen Dank!!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
