Gaußscher Integralsatz im Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Sei [mm] F:\IR^{3}\to\IR^{3} [/mm] das Vektorfeld
[mm] F(x,y,z)=\vektor{c_{1}x+y^{z} \\ c_{2}y+6x-z \\ c_{3}z-xe^{y}}
[/mm]
mit [mm] c_{1}+c_{2}+c_{3}=\bruch{3}{4\pi}. [/mm]
Bezeichne [mm] \epsilon [/mm] das Ellipsoid
[mm] (x,y,z)\in\IR^{3}:\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}+\bruch{z^{2}}{c^{2}}\le1
[/mm]
[mm] (a,b,c\in\IR^{+}) [/mm] und [mm] \partial\epsilon [/mm] seinen Rand.
Ist [mm] \epsilon [/mm] ein Normalbereich? Berechnen Sie das Oberflächenintegral
[mm] \integral_{}^{}\integral_{\partial\epsilon}^{}d\sigma
[/mm]
mit der Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (N ist das äußere Normalenfeld von F).
Hinweis: Das Volumen des Ellipsoids ist bekannt [mm] (V=\bruch{4\pi}{3}abc
[/mm]
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Hallo Matheraum,
nach der Berechung der Divergenz des Vektorfeldes (div [mm] F)(x,y,z)d(x,y,z)=\bruch{3}{4\pi} [/mm] erhalte ich schließlich das folgende Raumintegral
[mm] \bruch{3}{4\pi}\integral_{}^{}\integral_{\epsilon}^{}\integral_{}^{}1d(x,y,z)=\bruch{3}{4\pi}V,
[/mm]
wobei V das Volumen des Ellipsoids ist.
Meine Frage:
Wie genau komme ich bei der Lösung des Raumintegrals auf den Faktor V?
Dazu würde ich jedenfalls das unbestimmte Raumintegral [mm] \integral_{}^{}\integral_{}^{}\integral_{}^{}\bruch{3}{4\pi}d(x,y,z)=\bruch{3}{4\pi}xyz [/mm] berechnen.
Dann hätte ich ja mit (x,y,z) jeweils [mm] \in\IR [/mm] und xyz [mm] \in \IR*\IR*\IR=\IR^{3}, [/mm] mit [mm] \IR^{3}\supseteq [/mm] V. Kann man so argumentieren?
Wenn nicht, wie berechnet man das besagt Raumintegral richtig? Wie sehen die Grenzen der einzelnen Integrale aus?
Gruß, Marcel
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> Sei [mm]F:\IR^{3}\to\IR^{3}[/mm] das Vektorfeld
>
> [mm]F(x,y,z)=\vektor{c_{1}x+y^{z} \\ c_{2}y+6x-z \\ c_{3}z-xe^{y}}[/mm]
>
> mit [mm]c_{1}+c_{2}+c_{3}=\bruch{3}{4\pi}.[/mm]
>
> Bezeichne [mm]\epsilon[/mm] das Ellipsoid
>
> [mm](x,y,z)\in\IR^{3}:\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}+\bruch{z^{2}}{c^{2}}\le1[/mm]
>
> [mm](a,b,c\in\IR^{+})[/mm] und [mm]\partial\epsilon[/mm] seinen Rand.
>
>
> Ist [mm]\epsilon[/mm] ein Normalbereich? Berechnen Sie das
> Oberflächenintegral
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{\partial\epsilon}^{}d\sigma[/mm]
>
> mit der Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (N ist das
> äußere Normalenfeld von F).
>
>
> Hinweis: Das Volumen des Ellipsoids ist bekannt: [mm]V=\bruch{4\pi}{3}abc[/mm]
>
> Hallo Matheraum,
>
> nach der Berechung der Divergenz des Vektorfeldes
> [mm](div F)(x,y,z) \,\red{d(x,y,z)}=\bruch{3}{4\pi}[/mm]
das Differential hat hier nichts zu suchen !
> erhalte ich schließlich das folgende Raumintegral
>
> [mm]\bruch{3}{4\pi}\integral_{}^{}\integral_{\epsilon}^{}\integral_{}^{}1d(x,y,z)=\bruch{3}{4\pi}V,[/mm]
>
> wobei V das Volumen des Ellipsoids ist.
>
> Meine Frage:
>
> Wie genau komme ich bei der Lösung des Raumintegrals auf
> den Faktor V?
Da es hier so einfach ist, dass div [mm] \overrightarrow{F}=c_1+c_2+c_3 [/mm] =: C
konstant ist (mit C= [mm] \bruch{3}{4\pi}), [/mm] ergibt das Volumenintegral
einfach den Wert Divergenz*Gesamtvolumen
$\ [mm] =C*V=\bruch{3}{4\pi}*\bruch{4\pi}{3} [/mm] abc=a*b*c$
> Dazu würde ich jedenfalls das unbestimmte Raumintegral
> [mm] $\integral_{}^{}\integral_{}^{}\integral_{}^{}\bruch{3}{4\pi}d(x,y,z)$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $\ [mm] =\bruch{3}{4\pi}\ [/mm] xyz$ ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> berechnen.
Zu "berechnen" gibt es eigentlich gar nichts
ausser der oben schon angegebenen Überlegung
wegen des konstanten Integranden.
>
> Dann hätte ich ja mit (x,y,z) jeweils [mm]\in\IR[/mm] und xyz [mm]\in \IR*\IR*\IR=\IR^{3},[/mm]
> mit [mm]\IR^{3}\supseteq[/mm] V. Kann man so argumentieren?
>
>
> Wenn nicht, wie berechnet man das besagt Raumintegral
> richtig? Wie sehen die Grenzen der einzelnen Integrale
> aus?
Gar nicht nötig, weil Volumenformel vorgegeben.
LG Al-Chw.
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