Gaußsche Normalverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Lisalou |
| Aufgabe | | Die Durchschnittsgröße von Studentinnen sei M(Mittelwert) = 168 cm mit einer Standardabweichung von SD = +/- 5 cm. Wieviel Prozent der Studentinnen sind zwischen 163 und 173 cm groß? |
Die Antwort ist 68,27 % könnt ihr mir erklären wie ich auf das Ergebnis komme? Was sagt denn die Normalverteilung aus?
Gruß Lisalou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Anna,
ich empfehle folgenden Link zur ![[]](/images/popup.gif) Normalverteilung aus der Wikipedia (immer zuerst da kucken), da steht alles drin.
Kurzfassung:
Die Normalverteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, sowas wie die Binomialverteilung oder hypergeometrische Verteilung. Sie ist eine stetige Verteilung und die wichtigste überhaupt.
Was meinst du mit "Was sagt sie aus?" Sie sagt für eine normalverteilte Zufallsvariable aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit die ZV bestimmte Werte annimmt. Wie gesagt, ausführliches gibts oben im Link, da stehen auch alle Formeln drin.
Wenn die Zufallsv. X:Durchschnittsgrösse der Studentinnen Normalverteilt ist mit Erwartungswert [mm] \mu=168 [/mm] und Varianz [mm] \sigma^2=5^2, [/mm] kurz [mm] X\sim\mathcal{N}(168;5^2), [/mm] dann ist die Zufallsvariable [mm] Z:=\bruch{X-\mu}{\sigma} [/mm] Standardnormalverteilt, [mm] Z\sim\mathcal{N}(0;1). [/mm] Das folgt aus den Eigenschaften des Erwartungswertes und der Varianz. Die Werte der Verteilungsfunktion der Std.normal.vert. [mm] \Phi [/mm] sind tabelliert (so eine Tabelle habt ihr, denke ich mal)
Gesucht ist:
[mm] P(163\le X\le [/mm] 173) das gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der X zwischen den beiden Werten auftritt, also den Prozentsatz an Leuten,die in dem Intervall [163;173] liegen. Da die Grenzen gerade [mm] \mu-\sigma [/mm] bzw. [mm] \mu+\sigma [/mm] sind, nennt man das auch eine [mm] \sigma [/mm] -Umgebung um den Erwartungswert.
Also:
[mm] P(163\le X\le 173)=P(\bruch{163-168}{5}\le Z\le\bruch{173-168}{5})=P(-1\le X\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=0,8414-0,1586=0,6828
[/mm]
Die Werte liest man wie gesagt aus einer Tabelle ab. Falls negative Argumente nicht tabelliert sind, es gilt wegen der Symmetrie der Dichte [mm] \Phi(-z)=1-\Phi(z)
[/mm]
Man transformiert immer von einer beliebigen Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung, damit man nicht zig Tabellen braucht, sondern nur eine einzige.
Alles klar ? 
L G walde
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